设有向量组α1=(1,1,1,2)T,α2=(3,a+4,2a+5,a+7)T,α3=(4,6,8,10)T, (1)求向量组α1,α2,α3,α4的秩及其一个极大线性无关组; (2)若β=(0,1,3,6)T不能由α1,α2,α3,α4线

admin2017-06-14  28

问题 设有向量组α1=(1,1,1,2)T,α2=(3,a+4,2a+5,a+7)T,α3=(4,6,8,10)T
    (1)求向量组α1,α2,α3,α4的秩及其一个极大线性无关组;
    (2)若β=(0,1,3,6)T不能由α1,α2,α3,α4线性表出,求a,b的值;
    (3)若任何4维向量均可由α1,α2,α3,α4,β线性表出,求a,b的值.

选项

答案设x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β,对(α1,α2,α3,α4,β)作初等行变换,有 [*] (1)当[*]时,秩r(α1,α2,α3,α4)=2,极大线性无关组是α1,α2(不唯一,也可以是α1,α3或α1,α4); 当a=-1时,秩r(α1,α2,α3,α4)=3,极大线性无关组是α1,α3,α4(或α2,α3,α4); 当[*]a≠-1时,秩r(α1,α2,α3,α4)=3,极大线性无关组是α1,α2,α4(或α1,α3,α4或α2,α3,α4). (2)方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β无解,也就是β不能由α1,α2,α3,α4线性表出,此时条件为:[*]或b≠1. (3)任一个4维向量γ可由α1,α2,α3,α4,β线性表出的充分必要条件是秩r(α1,α2,α3,α4,β)=4,即[*]且b≠1.

解析
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