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设有向量组α1=(1,1,1,2)T,α2=(3,a+4,2a+5,a+7)T,α3=(4,6,8,10)T, (1)求向量组α1,α2,α3,α4的秩及其一个极大线性无关组; (2)若β=(0,1,3,6)T不能由α1,α2,α3,α4线
设有向量组α1=(1,1,1,2)T,α2=(3,a+4,2a+5,a+7)T,α3=(4,6,8,10)T, (1)求向量组α1,α2,α3,α4的秩及其一个极大线性无关组; (2)若β=(0,1,3,6)T不能由α1,α2,α3,α4线
admin
2017-06-14
47
问题
设有向量组α
1
=(1,1,1,2)
T
,α
2
=(3,a+4,2a+5,a+7)
T
,α
3
=(4,6,8,10)
T
,
(1)求向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的秩及其一个极大线性无关组;
(2)若β=(0,1,3,6)
T
不能由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出,求a,b的值;
(3)若任何4维向量均可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β线性表出,求a,b的值.
选项
答案
设x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=β,对(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β)作初等行变换,有 [*] (1)当[*]时,秩r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=2,极大线性无关组是α
1
,α
2
(不唯一,也可以是α
1
,α
3
或α
1
,α
4
); 当a=-1时,秩r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=3,极大线性无关组是α
1
,α
3
,α
4
(或α
2
,α
3
,α
4
); 当[*]a≠-1时,秩r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=3,极大线性无关组是α
1
,α
2
,α
4
(或α
1
,α
3
,α
4
或α
2
,α
3
,α
4
). (2)方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=β无解,也就是β不能由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出,此时条件为:[*]或b≠1. (3)任一个4维向量γ可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β线性表出的充分必要条件是秩r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β)=4,即[*]且b≠1.
解析
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考研数学一
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