已知A=，二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2。求正交变换x=Qy将f化为标准形。

admin2019-01-23 67

问题已知A=

，二次型f(x₁,x₂,x₃)=x^T(A^TA)x的秩为2。
求正交变换x=Qy将f化为标准形。

选项

答案由(I)中结果，令矩阵B=[*], |λE—B|=[*]=λ(λ一2)(λ一6)=0，解得矩阵B的特征值为λ₁=0，λ₂=2，λ₃=6。由(λ_iE一B)x=0，得对应特征值λ₁=0，λ₂=2，λ₃=6的特征向量分别为 η₁=(一1，一1，1)^T，η₂=(一1，1，0)^T，η₃=(1，1，2)^T。将η₁，η₂，η₃单位化可得 [*] 令 Q=(α₁，α₂，α₃)=[*], 则正交变换X=Q．v可将原二次型化为2y₂²+6y₃²。

解析

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考研数学三

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