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设A是n阶矩阵(n≥2),证明:R(A*)=
设A是n阶矩阵(n≥2),证明:R(A*)=
admin
2020-03-16
58
问题
设A是n阶矩阵(n≥2),证明:R(A
*
)=
选项
答案
当R(A)=n时,|A|≠0,因为|A
*
|=|A|
n—1
≠0,所以R(A
*
)=n。 当R(A)=n—1时,|A|=0,于是A
*
A=|A|E=O,所以R(A
*
)+R(A)≤n。再由R(A)=n—1,故R(A
*
)≤1。又因为R(A)=n—1,由矩阵秩的定义,A的最高阶非零子式为n—1阶,即存在M
ij
≠O,所以A
ij
=(—1)
i+j
M
ij
≠0,从而A
*
≠O,于是R(A
*
)≥1,故R(A
*
)=1。 当R(A)<n—1时,因为A的所有n—1阶子式都为零,即所有的M
ij
=0,所以A
*
=0,于是R(A
*
)=0。
解析
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考研数学二
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