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  3. 设A是n阶矩阵(n≥2)，证明：R(A*)=

设A是n阶矩阵(n≥2)，证明：R(A*)=

admin2020-03-16  53
问题 设A是n阶矩阵(n≥2)，证明：R(A*)=
选项
答案当R(A)=n时，｜A｜≠0，因为｜A*｜=｜A｜n—1≠0，所以R(A*)=n。 当R(A)=n—1时，｜A｜=0，于是A*A=｜A｜E=O，所以R(A*)+R(A)≤n。再由R(A)=n—1，故R(A*)≤1。又因为R(A)=n—1，由矩阵秩的定义，A的最高阶非零子式为n—1阶，即存在Mij≠O，所以Aij=(—1)i+jMij≠0，从而A*≠O，于是R(A*)≥1，故R(A*)=1。 当R(A)＜n—1时，因为A的所有n—1阶子式都为零，即所有的Mij=0，所以A*=0，于是R(A*)=0。
解析
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考研数学二

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