设A是n阶矩阵(n≥2),证明:R(A*)=

admin2020-03-16  34

问题 设A是n阶矩阵(n≥2),证明:R(A*)=

选项

答案当R(A)=n时,|A|≠0,因为|A*|=|A|n—1≠0,所以R(A*)=n。 当R(A)=n—1时,|A|=0,于是A*A=|A|E=O,所以R(A*)+R(A)≤n。再由R(A)=n—1,故R(A*)≤1。又因为R(A)=n—1,由矩阵秩的定义,A的最高阶非零子式为n—1阶,即存在Mij≠O,所以Aij=(—1)i+jMij≠0,从而A*≠O,于是R(A*)≥1,故R(A*)=1。 当R(A)<n—1时,因为A的所有n—1阶子式都为零,即所有的Mij=0,所以A*=0,于是R(A*)=0。

解析
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