2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0。证明对任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。

设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0。证明对任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。

admin2020-03-16  59
问题 设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0。证明对任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。
选项
答案设有 F(x)=∫0xg(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt一f(x)g(1)， 则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且 F’(x)=g(x)f’(x)—f’(x)g(1)=f’(x)[g(x)一g(1)]， 由于x∈[0，1]时，f’(x)≥0，g’(x)≥0，因此F’(x)≤0，即F(x)在[0，1]上单调递减。 注意到 F(1)=∫01g(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt一g(1)g(1)， 而又因为 ∫01g(t)f’(t)dt=∫01g(t)df(t)=g(t)f(t)｜∫01一∫01f(t)g’(t)dt=f(1)g(1)一∫01f(t)g’(t)dt， 故F(1)=0。 因此x∈[0，1]时，F(x)≥F(1)=0，由此可得对任何a∈[0，1]，有 ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。
解析
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考研数学二

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