设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有( )

admin2016-04-11 28

问题设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有( )

选项 A、A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．
B、A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关．
C、A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关．
D、A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．

答案A

解析设A按列分块为A=[α₁ α₂ … α_n]，由B≠0知至少有一列非零，设B的第j列(b_1j，b_2j，b_3j)^T≠O，则AB的第j列为[α₁ α₂ … α_n]

=O，
即 b_1jα₁+b_2jα₂+…+b_3jα_n=O，
因为常数b_1j，b_2j，…，b_3j不全为零，故由上式知A的列向量组线性相关，再由AB=0取转置得B^TA^T=O，利用已证的结果可知B^T的列向量组——即B的行向量组线性相关，故(A)正确．

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考研数学一

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