设z=z(x，y)是由x2一6xy+10y2一2yz一z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值．

admin2020-05-02 46

问题设z=z(x，y)是由x²一6xy+10y²一2yz一z²+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值．

选项

答案方法一令F(x，y，z)=x²－6xy+10y²－2yz－z²+18，则 F_x=2x－6y，F_y=－6x+20y－2z，F_z=－2y－2z 于是 [*] 由[*]得x=3y，z=y，将其代入x²－6xy+10y²－2yz－z²+18=0可得驻点为(9，3)和(－9，－3)．又 [*] 在点(9，3)处，[*]且[*]所以此函数在点(9，3)处取得极小值为z(9，3)=3；在点(－9，－3)处，[*]且[*]所以此函数在点(－9，－3)处取得极大值为z(－9，－3)=－3．方法二由原方程可得(x－3y)²+(y－z)²+2z²－18=0，即 2z²－18=(x－3y)²+(y－z)²≥0 于是 z≥3或z≤－3 将z=3代入方程x²－6xy+10y²－2yz－z²+18=0，可得x=9，y=3．故函数z=z(x，y)在点(9，3)处取得极小值为z(9，3)=3．类似地，函数z=z(x，y)在点(－9，－3)处取得极大值为z(－9，－3)=一3．

解析

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考研数学一

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考研数学一

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