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设z=z(x,y)是由x2一6xy+10y2一2yz一z2+18=0确定的函数,求z=z(x,y)的极值点和极值.
设z=z(x,y)是由x2一6xy+10y2一2yz一z2+18=0确定的函数,求z=z(x,y)的极值点和极值.
admin
2020-05-02
47
问题
设z=z(x,y)是由x
2
一6xy+10y
2
一2yz一z
2
+18=0确定的函数,求z=z(x,y)的极值点和极值.
选项
答案
方法一 令F(x,y,z)=x
2
-6xy+10y
2
-2yz-z
2
+18,则 F
x
=2x-6y,F
y
=-6x+20y-2z,F
z
=-2y-2z 于是 [*] 由[*]得x=3y,z=y,将其代入x
2
-6xy+10y
2
-2yz-z
2
+18=0可得驻点为(9,3)和(-9,-3). 又 [*] 在点(9,3)处,[*]且[*]所以此函数在点(9,3)处取得极小值为z(9,3)=3; 在点(-9,-3)处,[*]且[*]所以此函数在点(-9,-3)处取得极大值为z(-9,-3)=-3. 方法二 由原方程可得(x-3y)
2
+(y-z)
2
+2z
2
-18=0,即 2z
2
-18=(x-3y)
2
+(y-z)
2
≥0 于是 z≥3或z≤-3 将z=3代入方程x
2
-6xy+10y
2
-2yz-z
2
+18=0,可得x=9,y=3.故函数z=z(x,y)在点(9,3)处取得极小值为z(9,3)=3. 类似地,函数z=z(x,y)在点(-9,-3)处取得极大值为z(-9,-3)=一3.
解析
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考研数学一
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