求函数f(x)=(2一t)e-tdt的最值．

admin2017-07-28 55

问题求函数f(x)=

(2一t)e^-tdt的最值．

选项

答案由于f(x)是偶函数，我们只需考察x∈[0，+∞)．由变限积分求导公式得 f’(x)=2x(2一x²)[*]．解f’(x)=0得x=0与[*]于是 [*] 从而，f(x)的最大值是 [*] =∫₀²(2-t)e^-tdt=一∫₀²(2一t)de^-t=(t一2)e^-t|₀²—∫₀²e^-tdt =2+e^-t|₀²=1+e^-2．由上述单调性分析，为求最小值，只需比较f(0)与[*]f(x)的大小．由于 [*]=∫₀^+∞(2一t)e^-tdt=[(t一2)e^-t+e^-t]|₀^+∞=1＞f(0)=0，因此f(0)=0是最小值．

解析

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