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  3. 设n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数． 试问a1，a2，…，an满足何条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)

设n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数． 试问a1，a2，…，an满足何条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)

admin2020-09-25  91
问题 设n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．
  试问a1，a2，…，an满足何条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型．
选项
答案若f(x1，x2，…，xn)为正定二次型，则对任意x1，x2，…，xn有f(x1，x2，…，xn)≥0， 其中等号成立当且仅当x1=x2=…=xn=0． 由f(x1，x2，…，xn)的表达式可知对任意x1，x2，…，xn有f(x1，x2，…，xn)≥0， 其中等号成立当且仅当x1+a1x2=x2+a2x3=…=xn-1+an-1xn=xn+anx1=0． 所以f(x1，x2，…，xn)为正定二次型的充要条件是x1+a1x2=x2+a2x3=…=xn-1+an-1xn =xn+anx1=0的解为x1=x2=…=xn=0． 即方程组[*]仅有零解． 又方程组的系数行列式为[*]=1+(一1)n+1a1a2…an， 所以当1+(一1)n+1a1a2…an≠0即a1a2…an≠(一1)n时方程组仅有零解，此时f(x1，x2，…，xn)为正定二次型．
解析
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考研数学三

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