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设n元实二次型f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2,其中ai(i=1,2,…,n)为实数. 试问a1,a2,…,an满足何条件时,二次型f(x1,x2,…,xn)
设n元实二次型f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2,其中ai(i=1,2,…,n)为实数. 试问a1,a2,…,an满足何条件时,二次型f(x1,x2,…,xn)
admin
2020-09-25
92
问题
设n元实二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=(x
1
+a
1
x
2
)
2
+(x
2
+a
2
x
3
)
2
+…+(x
n-1
+a
n-1
x
n
)
2
+(x
n
+a
n
x
1
)
2
,其中a
i
(i=1,2,…,n)为实数.
试问a
1
,a
2
,…,a
n
满足何条件时,二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)为正定二次型.
选项
答案
若f(x
1
,x
2
,…,x
n
)为正定二次型,则对任意x
1
,x
2
,…,x
n
有f(x
1
,x
2
,…,x
n
)≥0, 其中等号成立当且仅当x
1
=x
2
=…=x
n
=0. 由f(x
1
,x
2
,…,x
n
)的表达式可知对任意x
1
,x
2
,…,x
n
有f(x
1
,x
2
,…,x
n
)≥0, 其中等号成立当且仅当x
1
+a
1
x
2
=x
2
+a
2
x
3
=…=x
n-1
+a
n-1
x
n
=x
n
+a
n
x
1
=0. 所以f(x
1
,x
2
,…,x
n
)为正定二次型的充要条件是x
1
+a
1
x
2
=x
2
+a
2
x
3
=…=x
n-1
+a
n-1
x
n
=x
n
+a
n
x
1
=0的解为x
1
=x
2
=…=x
n
=0. 即方程组[*]仅有零解. 又方程组的系数行列式为[*]=1+(一1)
n+1
a
1
a
2
…a
n
, 所以当1+(一1)
n+1
a
1
a
2
…a
n
≠0即a
1
a
2
…a
n
≠(一1)
n
时方程组仅有零解,此时f(x
1
,x
2
,…,x
n
)为正定二次型.
解析
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考研数学三
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