首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证: 对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证: 对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
admin
2019-03-22
83
问题
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证:
对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
选项
答案
证一 辅助函数F(x)可用凑导数法如下求出.将ξ改为x,得 {f’(x)-1-λ[f(x)-x])|
x=ξ
={f’(x)-x’-λ[f(x)-x}]|
x=ξ
={[f(x)-x]’-λ[f(x)-x]}|
x=ξ
=0. 在上式两端乘以e
-λx
,即得 {e
-λx
[f(x)-x]’+(e
-λx
)’[f(x)-x]}|
x=ξ
={e
-λx
[f(x)-x]}’|
x=ξ
=F’(x)|
x=ξ
=0. 于是有 F(x)=e
-λx
[f(x)-x]. 因F(x)在[0,η]上连续,在(0,η)内可导,且 F(0)=0, F(η)=e
-λx
[f(η)-η]=0, 由罗尔定理知,存在ξ∈(0,η)使F’(ξ)=0,即 e
-λx
{f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]-1}=0, 亦即f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1. 证二 下面用积分法(常数变易法)即解微分方程的方法求出F(x).为此将ξ改为x,由f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1得到f’(x)-λf(x)=1-λx此为一阶线性非齐次方程,由其求解公式(1.6.1.1)式, [*] 得 [*] 解出C,得C=e
-λx
[f(x)-x],则F(x)=e
-λx
[f(x)-x].下同证一(略).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/wYP4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
[*]
证明:二次型f(x)=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。
设数列{an}满足条件:a0=3,a1=1,an—2一n(n一1)an=0(n≥2)。S(x)是幂级数anxn的和函数。(Ⅰ)证明:S"(x)一S(x)=0;(Ⅱ)求S(x)的表达式。
设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数,且f(0)f’(0)≠0,当h→0时,若a[(h)+bf(2h)—f(0)=a(h),试求a,b的值。
若数列{an}收敛,则级数(an+1—an)________。
将函数f(x)=展开成x一1的幂级数,并指出其收敛区间。
设z=f(x2+y2,xy,x),其中f(u,v,w)二阶连续可偏导,求.
直角坐标中的累次积分I=f(x,y)dy化为极坐标先r后θ次序的累次积分I=___________.
设则A与B().
设数列{xn},{yn}满足xnyn=0,则下列正确的是
随机试题
化粪池离建筑物净距不宜小于以下哪个数据?[2003年第68题][2004年第69题]
在类风湿关节炎发病中起主要作用的细胞是.
下列疾病中,哪种不容易发生生殖器异常出血
设某△接三相异步电动机的全压起动转矩为66N.m,当对其使用丫-△降压起动方案时,当分别带10N.m、20N.m、30N.m、40N.m的负载起动时()。
【背景资料】某安装公司承包一演艺中心的空调工程,演艺中心地处江边(距离江边100m),空调工程设备材料:双工况冷水机组(650Rt)、蓄冰槽、江水源热泵机组、燃气锅炉、低噪声冷却塔(650t/h)、板式热交换机、水泵、空调箱、风机盘管、各类阀门(
安全专项施工方案的内容应包括()。
有的人观察能力强,有的人动手能力强,有的人善于口头演讲,有的人善于书面写作。这说明人的发展具有()。
关系数据库的基本操作包括()。
____,пожалуйста,гдездесьсправочноебюро?____,медленнее,яплохопонимаюпо-русски.
A、Theyonlyhaveeffectonrealpatients.B、Theyaremoreorlesseffectiveformostpeople.C、Theyarethebestmethodseverfo
最新回复
(
0
)