2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(1／2)=1．试证： 对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]=1．

设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(1／2)=1．试证： 对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]=1．

admin2019-03-22  80
问题 设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(1／2)=1．试证：
对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]=1．
选项
答案证一 辅助函数F(x)可用凑导数法如下求出．将ξ改为x，得 {f’(x)－1－λ[f(x)－x])｜x=ξ={f’(x)－x’－λ[f(x)－x}]｜x=ξ ={[f(x)－x]’－λ[f(x)－x]}｜x=ξ=0． 在上式两端乘以e-λx，即得 {e－λx[f(x)－x]’+(e－λx)’[f(x)－x]}｜x=ξ={e－λx[f(x)－x]}’｜x=ξ=F’(x)｜x=ξ=0． 于是有 F(x)=e－λx[f(x)－x]． 因F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且 F(0)=0， F(η)=e－λx[f(η)－η]=0， 由罗尔定理知，存在ξ∈(0，η)使F’(ξ)=0，即 e－λx{f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]－1}=0， 亦即f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]=1． 证二 下面用积分法(常数变易法)即解微分方程的方法求出F(x)．为此将ξ改为x，由f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]=1得到f’(x)－λf(x)=1－λx此为一阶线性非齐次方程，由其求解公式(1．6．1．1)式， [*] 得 [*] 解出C，得C=e-λx[f(x)－x]，则F(x)=e－λx[f(x)－x]．下同证一(略)．
解析
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考研数学三

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