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已知向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r．证明：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．
已知向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r．证明：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．
admin
2018-09-25
44
问题
已知向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r．证明：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．
选项
答案
设(Ⅰ)的一个极大无关组为ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
，(Ⅱ)的一个极大无关组为η
1
，η
2
，…，η
r
． 因为(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，即ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
，可由η
1
，η
2
，…，η
r
线性表示，于是 r(ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
，η
1
，η
2
，…，η
r
)=r(η
1
，η
2
，…，η
r
)=r． 又ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
线性无关，则ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
也可作为ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
，η
1
，η
2
，…，η
r
的一个极大无关 组，于是η
1
，η
2
，…，η
r
也可由ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
线性表示，即(Ⅱ)也可由(Ⅰ)线性表示，得证．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/wYg4777K
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考研数学一
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