已知向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r．证明：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．

admin2018-09-25 54

问题已知向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r．证明：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．

选项

答案设(Ⅰ)的一个极大无关组为ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，(Ⅱ)的一个极大无关组为η₁ ，η₂ ，…，η_r．因为(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，即ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，可由η₁ ，η₂ ，…，η_r线性表示，于是 r(ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，η₁ ，η₂ ，…，η_r)=r(η₁ ，η₂ ，…，η_r)=r．又ξ₁，ξ₂，…，ξ_r线性无关，则ξ₁，ξ₂，…，ξ_r也可作为ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，η₁ ，η₂ ，…，η_r的一个极大无关组，于是η₁ ，η₂ ，…，η_r也可由ξ₁，ξ₂，…，ξ_r线性表示，即(Ⅱ)也可由(Ⅰ)线性表示，得证．

解析

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考研数学一

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