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  3. 已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解．

已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解．

admin2021-02-25  71
问题 已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解．
选项
答案由于AB=0，故r(A)+r(B)≤3，又由a，b，c不全为零，可知r(A)≥1． 当k≠9时，r(B)=2，于是r(A)=1； 当k=9时，r(B)=1，于是r(A)=1或r(A)=2． 对于k≠9，由AB=O可得 [*] 由于η1=(1，2，3)T，η2=(3，6，k)T线性无关，故η1，η2为Ax=0的一个基础解系，于是Ax=0的通解为 x=c1η1+c2η2，其中c1，c2为任意常数． 对于k=9，分别就r(A)=2和r(A)=1进行讨论． 如果r(A)=2，则Ax=0的基础解系由一个向量构成．又因为[*]，所以Ax=0的通解为x=c1(1，2，3)T，其中c1为任意常数． 如果r(A)=1，则Ax=0的基础解系由两个向量构成．又因为A的第一行为(a，b，c)且a，b，c不全为零，所以Ax=0等价于ax1+bx2+cx3=0，不妨设a≠0，η1=(-b，a，0)T，η2=(-c，0，a)T是Ax=0的两个线性无关的解，故Ax=0的通解为 x=c4η1+c5η2，其中c4，c5为任意常数．
解析 本题考查抽象齐次线性方程组的求解问题．主要是将矩阵方程转化成线性方程组．并注意运用AB=O，则r(A)+r(B)≤n．未知数的个数(n)-系数矩阵的秩r(A)=基础解系解向量的个数．齐次线性方程组通解的结构，若Ax=0的系数矩阵A的秩r(A)=r，则通解x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r．
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考研数学二

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