已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A3—2A2，则r(B)=( )

admin2018-12-29 41

问题已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A³—2A²，则r(B)=( )

选项 A、1。
B、2。
C、3。
D、不能确定。

答案A

解析因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A必能相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得
P^—1AP=Λ=

，
于是
P^—1BP=P^—1(A³—2A²)P=P^—1A³P—2P^—1A²P=(P^—1AP)³—2(P^—1AP)²

则矩阵B的三个特征值分别为0，0，—1，即r(B)=1，故选A。

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