设有曲线，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的表面积．

admin2021-01-19 86

问题设有曲线

，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的表面积．

选项

答案如图1—3—3，设切点的横坐标为x₀，则切点为[*]，曲线[*]在此点处的切线斜率为[*]，于是，切线方程为 [*]。又因它经过原点，以点(0，0)代入切线方程得[*]，解得x₀＝2．因此切线方程为[*] 切点为(2，1)，由曲线段[*]绕x轴旋转一周所得的旋转面的面积为 [*] 由直线段[*](0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的旋转面的面积为 [*] 因此所求旋转体的表面积为 [*] [*]

解析 [分析] 首先求出曲线

过原点的切线，再根据定积分的几何应用的相关公式求出旋转体的表面积．
[评注] 应注意本题要求的表面积有两部分，不要漏算．

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考研数学二

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