2. 考研
  3. 设有曲线，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的表面积．

设有曲线，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的表面积．

admin2021-01-19  80
问题 设有曲线，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的表面积．
选项
答案如图1—3—3，设切点的横坐标为x0，则切点为[*]，曲线[*]在此点处的切线斜率为[*]，于是，切线方程为 [*]。 又因它经过原点，以点(0，0)代入切线方程得[*]，解得x0＝2． 因此切线方程为[*] 切点为(2，1)，由曲线段[*]绕x轴旋转一周所得的旋转面的 面积为 [*] 由直线段[*](0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的旋转面的面积为 [*] 因此所求旋转体的表面积为 [*] [*]
解析 [分析]  首先求出曲线过原点的切线，再根据定积分的几何应用的相关公式求出旋转体的表面积．
[评注]  应注意本题要求的表面积有两部分，不要漏算．
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考研数学二

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