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若ζ1，ζ2，ζ3是线性空间U3的一个基，并且有 (1)证明α1，α2，α3和β1，β2，β3都是V3的基． (2)求由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵． (3)求由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的坐标变换公式．
若ζ1，ζ2，ζ3是线性空间U3的一个基，并且有 (1)证明α1，α2，α3和β1，β2，β3都是V3的基． (2)求由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵． (3)求由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的坐标变换公式．
admin
2020-09-25
89
问题
若ζ
1
，ζ
2
，ζ
3
是线性空间U
3
的一个基，并且有
(1)证明α
1
，α
2
，α
3
和β
1
，β
2
，β
3
都是V
3
的基．
(2)求由基α
1
，α
2
，α
3
到基β
1
，β
2
，β
3
的过渡矩阵．
(3)求由基α
1
，α
2
，α
3
到基β
1
，β
2
，β
3
的坐标变换公式．
选项
答案
(1)由已知条件可得(α
1
，α
2
，α
3
)=(ζ
1
，ζ
2
，ζ
3
)[*]=(ζ
1
，ζ
2
，ζ
3
)P
1
， [*]，所以α
1
，α
2
，α
3
是V
3
的一组基． (β
1
，β
2
，β
3
)=(ζ
1
，ζ
2
，ζ
3
)[*]=(ζ
1
，ζ
2
，ζ
3
)P
2
， |P
2
|=[*]=1≠0，所以β
1
，β
2
，β
3
是V
3
的一组基． (2)由(α
1
，α
2
，α
3
)=(ζ
1
，ζ
2
，ζ
3
)P
1
可得(ζ
1
，ζ
2
，ζ
3
)=(α
1
，α
2
，α
3
)P
1
-1
， 又因为(β
1
，β
2
，β
3
)=(ζ
1
，ζ
2
，ζ
3
)P
2
，所以(β
1
，β
2
，β
3
)=(α
1
，α
2
，α
3
)P
1
-1
P
2
=(α
1
，α
2
，α
3
)P． 从而可得由基α
1
，α
2
，α
3
到基β
1
，β
2
，β
3
的过渡矩阵为 [*] (3)设η是V
3
中任一向量．若η在基α
1
，α
2
，α
3
下的坐标为(x
1
，x
2
，x
3
)
T
，η在基β
1
，β
2
，β
3
下的坐标为(y
1
，y
2
，y
3
)
T
，即η=(α
1
，α
2
，α
3
)[*] 由于已知由基α
1
，α
2
，α
3
到基β
1
，β
2
，β
3
的过渡矩阵为P，所以坐标变换公式为 [*]
解析
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考研数学三
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