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若ζ1,ζ2,ζ3是线性空间U3的一个基,并且有 (1)证明α1,α2,α3和β1,β2,β3都是V3的基. (2)求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵. (3)求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的坐标变换公式.
若ζ1,ζ2,ζ3是线性空间U3的一个基,并且有 (1)证明α1,α2,α3和β1,β2,β3都是V3的基. (2)求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵. (3)求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的坐标变换公式.
admin
2020-09-25
64
问题
若ζ
1
,ζ
2
,ζ
3
是线性空间U
3
的一个基,并且有
(1)证明α
1
,α
2
,α
3
和β
1
,β
2
,β
3
都是V
3
的基.
(2)求由基α
1
,α
2
,α
3
到基β
1
,β
2
,β
3
的过渡矩阵.
(3)求由基α
1
,α
2
,α
3
到基β
1
,β
2
,β
3
的坐标变换公式.
选项
答案
(1)由已知条件可得(α
1
,α
2
,α
3
)=(ζ
1
,ζ
2
,ζ
3
)[*]=(ζ
1
,ζ
2
,ζ
3
)P
1
, [*],所以α
1
,α
2
,α
3
是V
3
的一组基. (β
1
,β
2
,β
3
)=(ζ
1
,ζ
2
,ζ
3
)[*]=(ζ
1
,ζ
2
,ζ
3
)P
2
, |P
2
|=[*]=1≠0,所以β
1
,β
2
,β
3
是V
3
的一组基. (2)由(α
1
,α
2
,α
3
)=(ζ
1
,ζ
2
,ζ
3
)P
1
可得(ζ
1
,ζ
2
,ζ
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)P
1
-1
, 又因为(β
1
,β
2
,β
3
)=(ζ
1
,ζ
2
,ζ
3
)P
2
,所以(β
1
,β
2
,β
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)P
1
-1
P
2
=(α
1
,α
2
,α
3
)P. 从而可得由基α
1
,α
2
,α
3
到基β
1
,β
2
,β
3
的过渡矩阵为 [*] (3)设η是V
3
中任一向量.若η在基α
1
,α
2
,α
3
下的坐标为(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,η在基β
1
,β
2
,β
3
下的坐标为(y
1
,y
2
,y
3
)
T
,即η=(α
1
,α
2
,α
3
)[*] 由于已知由基α
1
,α
2
,α
3
到基β
1
,β
2
,β
3
的过渡矩阵为P,所以坐标变换公式为 [*]
解析
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考研数学三
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