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设A、B为3阶相似非零实矩阵,矩阵A=(αij)满足aij=Aij(i,j=1,2,3),Aij是aij的代数余子式,矩阵B满足|E+2B|=|E+3B|=0,则矩阵A*+E可逆,方程组(B-E)x=0没有非零解.
设A、B为3阶相似非零实矩阵,矩阵A=(αij)满足aij=Aij(i,j=1,2,3),Aij是aij的代数余子式,矩阵B满足|E+2B|=|E+3B|=0,则矩阵A*+E可逆,方程组(B-E)x=0没有非零解.
admin
2021-02-25
45
问题
设A、B为3阶相似非零实矩阵,矩阵A=(α
ij
)满足a
ij
=A
ij
(i,j=1,2,3),A
ij
是a
ij
的代数余子式,矩阵B满足|E+2B|=|E+3B|=0,则矩阵A
*
+E可逆,方程组(B-E)x=0没有非零解.
选项
答案
由a
ij
=A
ij
(i,j=1,2,3)可知,A
*
=A
T
.于是 [*] 又因为A≠0,不妨假设a
11
≠0,所以 [*] 又由已知,A~B,所以A与B有相同的特征值,且|B|=|A|=1. 由|E+2B|=|E+3B|=0,可得B有特征值λ
1
=-1/2,λ
2
=-1/3. 设B的另一特征值为λ
3
,则有[*].所以A、B的特征值为λ
1
=-1/2,λ
2
=-1/3,λ
3
=6.于是矩阵A
*
+E=A
T
+E=A+E的特征值为λ
1
+1=1/2,λ
2
+1=2/3,λ
3
+1=7全不为0,故A
*
+E可逆. 显然B-E的特征值为λ
1
-1=-3/2,λ
2
-1=-4/3,λ
3
-1=5.所以B-E可逆,故方程组(B-E)x=0没有非零解.
解析
本题主要考查如何求抽象矩阵的特征值.再利用特征值的性质证其结论.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xZ84777K
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考研数学二
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