设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表出,但不能由向量组(I):α1,α2,…,αm-1线性表出.记向量组(Ⅱ):α1,α2,…,αm-1,β,则( ).

admin2019-04-09  37

问题 设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表出,但不能由向量组(I):α1,α2,…,αm-1线性表出.记向量组(Ⅱ):α1,α2,…,αm-1,β,则(    ).

选项 A、αm不能由向量组(I)线性表出,也不能由向量组(Ⅱ)线性表出
B、αm不能由向量组(I)线性表出,但可由向量组(Ⅱ)线性表出
C、αm可由向量组(I)线性表出,也可由向量组(Ⅱ)线性表出
D、αm可由向量组(I)线性表出,但不可由向量组(Ⅱ)线性表出

答案B

解析 解一  由题设有
              β=k1α1+k2α2+…+kmαm,    ①
因β不能由α1,α2,…,αm-1线性表示,则必有km≠0.否则,如km=0,则β可由向量组(I)线性表出,这与题设矛盾.由于km≠0,则
            αm=β/km-(k1/km1-…-(km-1/kmm-1,②
即αm可由向量组(Ⅱ):α1,α2,…,αm-1,β线性表出.且αm不能由向量组(I)线性表出.如果
能,不妨设αm1α12α2+…+λm-1αm-1,代入式①得
              β=(k1+kmλ11+(k2+kmλ22+…+(km-1+kmλm-1m-1.    ③
即β可由向量组(I)线性表出,这与已知条件矛盾.因而仅(B)入选.
    解二  由解一中的式②知,αm可由向量组(Ⅱ)线性表示,据此可排除(A)、(D).
    如果αm可由向量组(I)线性表示,这与题设矛盾.因此又排除(C).仅(B)入选.
    解三  用向量组的秩与线性表出的关系判别之.
    因β可由α1,α2,…,αm线性表出,由命题2.3.1.2(1)知,秩([α1,α2,…,αm-1,αm])=秩([α1,α2,…,αm,β]),又β不能由α1,α2,…,αm-1线性表出,由命题2.3.1.2(3)知
              秩([α1,α2,…,αm-1,β)=秩([α1,α2,…,αm-1])+1.
    因这时αm可由α1,α2,…,αm-1,β线性表出,而β又可由α1,α2,…,αm线性表出,故
         秩([α1,α2,…,αm-1,β])=秩([α1,α2,…,αm-1,αm,β])=秩([α1,α2,…,αm]),
故αm可由向量组(Ⅱ)线性表出.因而
         秩([α1,…,αm-1,αm])=秩([α1,…,αm,β])=秩([α1,…,αm-1,β])=秩([α1,α2,…,αm-1])+1,
即αm不能由α1,α2,…,αm-1,即向量组(I)线性表出.仅(B)入选.
    注:命题2.3.1.2  设A=[α1,α2,…,αm],B=[α1,α2,…,αm,β],其中α1,α2,…,αm,β均为n维列向量,则
           (1)β可由α1,α2,…,αm线性表示的充要条件是秩(A)=秩(B),即秩([α1,α2,…,αm])=秩([α1,α2,…,αm,β]);
           (3)β不能由α1,α2,…,αm线性表示的充要条件是秩(A)<秩(B),即秩(B)=秩(A)+1;
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