2. 考研
  3. 设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表出，但不能由向量组(I)：α1，α2，…，αm－1线性表出．记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm－1，β，则( )．

设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表出，但不能由向量组(I)：α1，α2，…，αm－1线性表出．记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm－1，β，则( )．

admin2019-04-09  29
问题 设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表出，但不能由向量组(I)：α1，α2，…，αm－1线性表出．记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm－1，β，则(    )．
选项 A、αm不能由向量组(I)线性表出，也不能由向量组(Ⅱ)线性表出
B、αm不能由向量组(I)线性表出，但可由向量组(Ⅱ)线性表出
C、αm可由向量组(I)线性表出，也可由向量组(Ⅱ)线性表出
D、αm可由向量组(I)线性表出，但不可由向量组(Ⅱ)线性表出
答案B
解析 解一  由题设有
              β=k1α1+k2α2+…+kmαm，    ①
因β不能由α1，α2，…，αm－1线性表示，则必有km≠0．否则，如km=0，则β可由向量组(I)线性表出，这与题设矛盾．由于km≠0，则
            αm=β／km－(k1／km)α1－…－(km-1／km)αm－1，②
即αm可由向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm－1，β线性表出．且αm不能由向量组(I)线性表出．如果
能，不妨设αm=λ1α1+λ2α2+…+λm-1αm－1，代入式①得
              β=(k1+kmλ1)α1+(k2+kmλ2)α2+…+(km-1+kmλm-1)αm－1．    ③
即β可由向量组(I)线性表出，这与已知条件矛盾．因而仅(B)入选．
    解二  由解一中的式②知，αm可由向量组(Ⅱ)线性表示，据此可排除(A)、(D)．
    如果αm可由向量组(I)线性表示，这与题设矛盾．因此又排除(C)．仅(B)入选．
    解三  用向量组的秩与线性表出的关系判别之．
    因β可由α1，α2，…，αm线性表出，由命题2．3．1．2(1)知，秩([α1，α2，…，αm-1，αm])=秩([α1，α2，…，αm，β])，又β不能由α1，α2，…，αm－1线性表出，由命题2．3．1．2(3)知
              秩([α1，α2，…，αm－1，β)=秩([α1，α2，…，αm－1])+1．
    因这时αm可由α1，α2，…，αm－1，β线性表出，而β又可由α1，α2，…，αm线性表出，故
         秩([α1，α2，…，αm－1，β])=秩([α1，α2，…，αm－1，αm，β])=秩([α1，α2，…，αm])，
故αm可由向量组(Ⅱ)线性表出．因而
         秩([α1，…，αm－1，αm])=秩([α1，…，αm，β])=秩([α1，…，αm-1，β])=秩([α1，α2，…，αm－1])+1，
即αm不能由α1，α2，…，αm－1，即向量组(I)线性表出．仅(B)入选．
    注：命题2．3．1．2  设A=[α1，α2，…，αm]，B=[α1，α2，…，αm，β]，其中α1，α2，…，αm，β均为n维列向量，则
           (1)β可由α1，α2，…，αm线性表示的充要条件是秩(A)=秩(B)，即秩([α1，α2，…，αm])=秩([α1，α2，…，αm，β])；
           (3)β不能由α1，α2，…，αm线性表示的充要条件是秩(A)<秩(B)，即秩(B)=秩(A)+1；
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考研数学三

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