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设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表出，但不能由向量组(I)：α1，α2，…，αm－1线性表出．记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm－1，β，则( )．
设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表出，但不能由向量组(I)：α1，α2，…，αm－1线性表出．记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm－1，β，则( )．
admin
2019-04-09
57
问题
设向量β可由向量组α
1
，α
2
，…，α
m
线性表出，但不能由向量组(I)：α
1
，α
2
，…，α
m－1
线性表出．记向量组(Ⅱ)：α
1
，α
2
，…，α
m－1
，β，则( )．
选项
A、α
m
不能由向量组(I)线性表出，也不能由向量组(Ⅱ)线性表出
B、α
m
不能由向量组(I)线性表出，但可由向量组(Ⅱ)线性表出
C、α
m
可由向量组(I)线性表出，也可由向量组(Ⅱ)线性表出
D、α
m
可由向量组(I)线性表出，但不可由向量组(Ⅱ)线性表出
答案
B
解析
解一 由题设有
β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m
α
m
， ①
因β不能由α
1
，α
2
，…，α
m－1
线性表示，则必有k
m
≠0．否则，如k
m
=0，则β可由向量组(I)线性表出，这与题设矛盾．由于k
m
≠0，则
α
m
=β／k
m
－(k
1
／k
m
)α
1
－…－(k
m-1
／k
m
)α
m－1
，②
即α
m
可由向量组(Ⅱ)：α
1
，α
2
，…，α
m－1
，β线性表出．且α
m
不能由向量组(I)线性表出．如果
能，不妨设α
m
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+…+λ
m-1
α
m－1
，代入式①得
β=(k
1
+k
m
λ
1
)α
1
+(k
2
+k
m
λ
2
)α
2
+…+(k
m-1
+k
m
λ
m-1
)α
m－1
． ③
即β可由向量组(I)线性表出，这与已知条件矛盾．因而仅(B)入选．
解二 由解一中的式②知，α
m
可由向量组(Ⅱ)线性表示，据此可排除(A)、(D)．
如果α
m
可由向量组(I)线性表示，这与题设矛盾．因此又排除(C)．仅(B)入选．
解三 用向量组的秩与线性表出的关系判别之．
因β可由α
1
，α
2
，…，α
m
线性表出，由命题2．3．1．2(1)知，秩([α
1
，α
2
，…，α
m-1
，α
m
])=秩([α
1
，α
2
，…，α
m
，β])，又β不能由α
1
，α
2
，…，α
m－1
线性表出，由命题2．3．1．2(3)知
秩([α
1
，α
2
，…，α
m－1
，β)=秩([α
1
，α
2
，…，α
m－1
])+1．
因这时α
m
可由α
1
，α
2
，…，α
m－1
，β线性表出，而β又可由α
1
，α
2
，…，α
m
线性表出，故
秩([α
1
，α
2
，…，α
m－1
，β])=秩([α
1
，α
2
，…，α
m－1
，α
m
，β])=秩([α
1
，α
2
，…，α
m
])，
故α
m
可由向量组(Ⅱ)线性表出．因而
秩([α
1
，…，α
m－1
，α
m
])=秩([α
1
，…，α
m
，β])=秩([α
1
，…，α
m-1
，β])=秩([α
1
，α
2
，…，α
m－1
])+1，
即α
m
不能由α
1
，α
2
，…，α
m－1
，即向量组(I)线性表出．仅(B)入选．
注：命题2．3．1．2 设A=[α
1
，α
2
，…，α
m
]，B=[α
1
，α
2
，…，α
m
，β]，其中α
1
，α
2
，…，α
m
，β均为n维列向量，则
(1)β可由α
1
，α
2
，…，α
m
线性表示的充要条件是秩(A)=秩(B)，即秩([α
1
，α
2
，…，α
m
])=秩([α
1
，α
2
，…，α
m
，β])；
(3)β不能由α
1
，α
2
，…，α
m
线性表示的充要条件是秩(A)<秩(B)，即秩(B)=秩(A)+1；
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考研数学三
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