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  3. (06)已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解． (1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2； (2)求a，b的值及方程组的通解．

(06)已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解． (1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2； (2)求a，b的值及方程组的通解．

admin2019-03-21  49
问题 (06)已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解．
(1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；
(2)求a，b的值及方程组的通解．
选项
答案(1)设ξ1，ξ2，ξ3是该方程组的3个线性无关的解，则由解的性质知α1=ξ1-ξ2，α2=ξ1-ξ3是对应齐次线性方程组Ax=0的两个解，且由 [α1，α2]=[ξ1，ξ2，ξ3][*]及ξ1，ξ2，ξ3线性无关，向量组α1，α2线性无关．故齐次线性方程组Ax=0的基础解系至少含2个向量，即4-r(A)≥2，得r(A)≤2．义显然有r(A)≥2(A中存在2阶非零子式[*]=-1，或由A的前2行线性无关)，于是有r(A)=2． (2)对增广矩阵[*]施行初等行变换： [*] 因r(A)=2，故有 4-2a=0，4a+b-5=0 由此解得a=2，b=-3，此时 [*] 由此可得方程组的用自由未知量表示的通解为 [*] 令x3=k1，x4=k2，则得用对应齐次线性方程组的基础解系表示的通解为 [*] 其中k1，k2为任意常数．
解析
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考研数学二

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