设f(x)连续，=∫0xf(x—t)costdt，求∫01f(x)dx．

admin2017-05-31 15

问题设f(x)连续，

=∫₀^xf(x—t)costdt，求∫₀¹f(x)dx．

选项

答案因为[*]所以 e^2x=∫₀^xf(x—t)costdt[*]∫₀^xf(u)cos(x—u)du =cosx∫₀^xf(u)cosudu+sinx∫₀^xf(u)sinudu，且2e^2x=一sinx∫₀^xf(u)cosudu+f(x)cos²x+cosx∫₀^xf(u)sinudu+f(x)²sinx， 4e^2x=f’(x)一cosx∫₀^xf(u)cosudu一f(x)sinxcosx—sinx∫₀^xf(u)sinudu+f(x)sinxcosx =f’(x)一e^2x，从而f’(x)=5e^2x．于是，有 ∫₀¹f(x)dx=xf(x)｜₀¹一5∫₀¹xe^2xdx [*]

解析

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