设是2阶实矩阵,则下列条件不是A相似于对角阵的充分条件的是( )

admin2016-04-14  19

问题是2阶实矩阵,则下列条件不是A相似于对角阵的充分条件的是(     )

选项 A、ad—bc<0.
B、b,c同号.
C、b=c.
D、b,c异号.

答案D

解析 对(C),当b=c时,A是实对称矩阵A~A,故(C)是充分条件.
由A的特征值,看什么条件下A相似于对角矩阵.

对(A),当ad一bc<0时,由(*),(a+d)2一4(ad一bc)>0.
A有两个不同的特征值A~A.故(A)是充分条件.
对(B),当b,c同正或同负时,由(**)式可知,(a一d)2+4bc>0.
A有两个不同的特征值A~A.故(B)是充分条件.
对(D),当b,c异号时,由(**)式知,因bc<0,当(a一d)2+4bc=0时,会有二重特征值.例:

λ12=0,但r(0E—A)=1,线性无关的特征向量只有一个,AA,故(D)不是充分条件,故应选(D).
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