设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x，y)的全微分．求u(x，y)的一般表达式．

admin2019-06-28 67

问题设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式
[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x²y]dy
为某二元函数u(x，y)的全微分．
求u(x，y)的一般表达式．

选项

答案由上题有，du=(xy²+y—ye^-x)dx+(x一1+e^-x+x²y)dy．求u(x，y)有多个方法．方法一凑微分法． [*] 所以u(x，y)=[*](xy)²+xy+ye^-x一y+C，其中C为任意常数．方法二偏积分法．由 [*] 其中C₁(y)为Y的任意可微函数．再由[*]得 x²y+x+e^-x+C’₁(y)=x一1+e^-x+x²y，于是C’¹(y)=一1，C₁(y)=一y+C．于是 u=[*](xy)²+xy+ye^-x一y+C，其中C为任意常数．

解析

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