2. 考研
  3. 设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x，y)的全微分． 求u(x，y)的一般表达式．

设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x，y)的全微分． 求u(x，y)的一般表达式．

admin2019-06-28  59
问题 设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式
                [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy
为某二元函数u(x，y)的全微分．
求u(x，y)的一般表达式．
选项
答案由上题有，du=(xy2+y—ye-x)dx+(x一1+e-x+x2y)dy．求u(x，y)有多个方法． 方法一 凑微分法． [*] 所以u(x，y)=[*](xy)2+xy+ye-x一y+C，其中C为任意常数． 方法二 偏积分法．由 [*] 其中C1(y)为Y的任意可微函数．再由[*]得 x2y+x+e-x+C’1(y)=x一1+e-x+x2y， 于是C’1(y)=一1，C1(y)=一y+C．于是 u=[*](xy)2+xy+ye-x一y+C， 其中C为任意常数．
解析
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考研数学二

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