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设f(x)在[a,b]上连续可导,证明: |f(x)|≤|∫abf(x)dx|+∫ab|f’(x)|dx.
设f(x)在[a,b]上连续可导,证明: |f(x)|≤|∫abf(x)dx|+∫ab|f’(x)|dx.
admin
2018-01-23
35
问题
设f(x)在[a,b]上连续可导,证明:
|f(x)|≤|
∫
a
b
f(x)dx|+∫
a
b
|f’(x)|dx.
选项
答案
因为f(x)在[a,b]上连续,所以|f(x)|在[a,b]上连续,令|f(c)|=[*]|f(x)|. 根据积分中值定理,[*]f(x)dx=f(ξ),其中ξ∈[a,b]. 由积分基本定理,f(c)=f(ξ)+∫
ξ
c
f’(x)dx,取绝对值得 |f(c)|≤|f(ξ)|+|∫
ξ
c
)f’(x)dx|≤|f(ξ)+∫
a
b
|f’(x)|dx,即 [*]∫
a
b
f(x)dx|+∫
a
b
|f’(x)|dx.
解析
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考研数学三
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