证明:若单调函数f(x)在区间(a,b)内有间断点,则必为第一类间断点.

admin2021-11-09  39

问题 证明:若单调函数f(x)在区间(a,b)内有间断点,则必为第一类间断点.

选项

答案不妨设f(x)在(a,b)内有定义,是单调递增的,x0∈(a,b)是f(x)的间断点.再设x∈(a,x0),则x<x0,由单调递增性知:f(x)<f(x0)(为常数),即f(x)在(a,x0)上单调递增有上界,它必定存在左极限:f(x0)=[*]f(x)≤f(x0),式中“≤”处若取“=”号,则f(x)在x0左连续,反之点x0为f(x)的跳跃间断点,同理可证,当x>x0时,单调增函数f(x)存在右极限f(x0+)≥f(x0),f(x)或在x0右连续、或点x0为跳跃间断点.综合之,单调增函数f(x)在间断点x0处的左、右极限都存在,故若x0是f(x)的间断点,则x0一定是f(x)的第一类间断点.同理可证f(x)在(a,b)内单调递减的情形.

解析
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