证明：若单调函数f(x)在区间(a，b)内有间断点，则必为第一类间断点．

admin2021-11-09 91

问题证明：若单调函数f(x)在区间(a，b)内有间断点，则必为第一类间断点．

选项

答案不妨设f(x)在(a，b)内有定义，是单调递增的，x₀∈(a，b)是f(x)的间断点．再设x∈(a，x₀)，则x＜x₀，由单调递增性知：f(x)＜f(x₀)(为常数)，即f(x)在(a，x₀)上单调递增有上界，它必定存在左极限：f(x₀^一)=[*]f(x)≤f(x₀)，式中“≤”处若取“=”号，则f(x)在x₀左连续，反之点x₀为f(x)的跳跃间断点，同理可证，当x＞x₀时，单调增函数f(x)存在右极限f(x₀⁺)≥f(x₀)，f(x)或在x₀右连续、或点x₀为跳跃间断点．综合之，单调增函数f(x)在间断点x₀处的左、右极限都存在，故若x₀是f(x)的间断点，则x₀一定是f(x)的第一类间断点．同理可证f(x)在(a，b)内单调递减的情形．

解析

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考研数学二

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证明：若单调函数f(x)在区间(a，b)内有间断点，则必为第一类间断点．

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设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0.证明：方程f"(x)-f(x)=0在（0,1）内有根。

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