试证方程x＝asinx＋b(a＞0，b＞0)至少有一个正根，且不超过a＋b．

admin2019-05-11 56

问题试证方程x＝asinx＋b(a＞0，b＞0)至少有一个正根，且不超过a＋b．

选项

答案证：作辅助函数，设 F(x)＝x－asinx－b F(x)是初等函数，在区间[0，a＋b]上连续，由于 F(0)＝－b＜0(b＞0) F(a＋b)＝a＋b－asin(a＋b)－b＝a[1－sin(a＋b)]≥0(a＞0，sin(a＋b)≤1) 所以，若F(a＋b)＝0。则a＋b为方程F(x)＝0，即为方程x＝asinx＋b的正根，若F(a＋b)＞0，则由根值定理知，存在ε∈(0，a＋b)，使F(ε)＝0。即ε＝asinε＋b．

解析

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