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试证方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根,且不超过a+b.
试证方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根,且不超过a+b.
admin
2019-05-11
51
问题
试证方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根,且不超过a+b.
选项
答案
证:作辅助函数,设 F(x)=x-asinx-b F(x)是初等函数,在区间[0,a+b]上连续,由于 F(0)=-b<0(b>0) F(a+b)=a+b-asin(a+b)-b=a[1-sin(a+b)]≥0(a>0,sin(a+b)≤1) 所以,若F(a+b)=0。则a+b为方程F(x)=0,即为方程x=asinx+b的正根,若F(a+b)>0,则由根值定理知,存在ε∈(0,a+b),使F(ε)=0。即ε=asinε+b.
解析
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