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  3. 设n阶矩阵A=。 (Ⅰ)求A的特征值和特征向量； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。

设n阶矩阵A=。 (Ⅰ)求A的特征值和特征向量； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。

admin2018-04-18  51
问题 设n阶矩阵A=。
(Ⅰ)求A的特征值和特征向量；
(Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。
选项
答案(Ⅰ)①当b≠0时， [*] =[λ一1一(n一1)b-][λ一(1—b)]n-1， 得A的特征值为λ1=1+(n—1)b，λ2=…=λn=1一b。 对λ1=1+(n—1)b，有 [*] 解得ξ1=(1，1，1，…，1)T，所以A的属于λ1的全部特征向量为kξ1=k(1，1，1，…，1)T (k为任意不为零的常数)。 对λ2=1一b，有 λ2E—A=[*]， 得基础解系为 ξ2=(1，一1，0，…，0)T，ξ3=(1，0，一1，…，0)T，…，ξ3=(1，0，0，…，0，一1)T。 故A的属于λ1的全部特征向量为k2ξ2+k3ξ3+…+knξn(k1，k2，…，kn是不全为零的常数)。 ②当b=0时， ｜λE一A｜=[*]=(λ一1)n， 特征值为λ1=…=λn=1，任意非零列向量均为特征向量。 (Ⅱ)①当b≠0时，A有n个线性无关的特征向量，令P=(ξ1，ξ2，…，ξn)，则 P-1AP=[*]。 ②当b=0时，A=E，对任意可逆矩阵P，均有P-1AP=E。
解析
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考研数学三

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