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设n阶矩阵A=。 (Ⅰ)求A的特征值和特征向量; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵。
设n阶矩阵A=。 (Ⅰ)求A的特征值和特征向量; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵。
admin
2018-04-18
51
问题
设n阶矩阵A=
。
(Ⅰ)求A的特征值和特征向量;
(Ⅱ)求可逆矩阵P,使得P
-1
AP为对角矩阵。
选项
答案
(Ⅰ)①当b≠0时, [*] =[λ一1一(n一1)b-][λ一(1—b)]
n-1
, 得A的特征值为λ
1
=1+(n—1)b,λ
2
=…=λ
n
=1一b。 对λ
1
=1+(n—1)b,有 [*] 解得ξ
1
=(1,1,1,…,1)
T
,所以A的属于λ
1
的全部特征向量为kξ
1
=k(1,1,1,…,1)
T
(k为任意不为零的常数)。 对λ
2
=1一b,有 λ
2
E—A=[*], 得基础解系为 ξ
2
=(1,一1,0,…,0)
T
,ξ
3
=(1,0,一1,…,0)
T
,…,ξ
3
=(1,0,0,…,0,一1)
T
。 故A的属于λ
1
的全部特征向量为k
2
ξ
2
+k
3
ξ
3
+…+k
n
ξ
n
(k
1
,k
2
,…,k
n
是不全为零的常数)。 ②当b=0时, |λE一A|=[*]=(λ一1)
n
, 特征值为λ
1
=…=λ
n
=1,任意非零列向量均为特征向量。 (Ⅱ)①当b≠0时,A有n个线性无关的特征向量,令P=(ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
),则 P
-1
AP=[*]。 ②当b=0时,A=E,对任意可逆矩阵P,均有P
-1
AP=E。
解析
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考研数学三
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