设n阶矩阵A=。 (Ⅰ)求A的特征值和特征向量； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。

admin2018-04-18 50

问题设n阶矩阵A=

。
(Ⅰ)求A的特征值和特征向量；
(Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵。

选项

答案(Ⅰ)①当b≠0时， [*] =[λ一1一(n一1)b-][λ一(1—b)]^n-1，得A的特征值为λ₁=1+(n—1)b，λ₂=…=λ_n=1一b。对λ₁=1+(n—1)b，有 [*] 解得ξ₁=(1，1，1，…，1)^T，所以A的属于λ₁的全部特征向量为kξ₁=k(1，1，1，…，1)^T (k为任意不为零的常数)。对λ₂=1一b，有 λ₂E—A=[*]，得基础解系为 ξ₂=(1，一1，0，…，0)^T，ξ₃=(1，0，一1，…，0)^T，…，ξ₃=(1，0，0，…，0，一1)^T。故A的属于λ₁的全部特征向量为k₂ξ₂+k₃ξ₃+…+k_nξ_n(k₁，k₂，…，k_n是不全为零的常数)。 ②当b=0时，｜λE一A｜=[*]=(λ一1)ⁿ，特征值为λ₁=…=λ_n=1，任意非零列向量均为特征向量。 (Ⅱ)①当b≠0时，A有n个线性无关的特征向量，令P=(ξ₁，ξ₂，…，ξ_n)，则 P^-1AP=[*]。 ②当b=0时，A=E，对任意可逆矩阵P，均有P^-1AP=E。

解析

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考研数学三

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