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设函数f(x)在区间[0,1]上二阶可导,f(0)=0,且f(1)=1,证明: (1)存在x0∈(0,1),使得f’(x0)=1; (2)存在ζ∈(0,1),使得ζf”(ζ)+(1+ζ)f’(ζ)=1+ζ。
设函数f(x)在区间[0,1]上二阶可导,f(0)=0,且f(1)=1,证明: (1)存在x0∈(0,1),使得f’(x0)=1; (2)存在ζ∈(0,1),使得ζf”(ζ)+(1+ζ)f’(ζ)=1+ζ。
admin
2021-04-16
55
问题
设函数f(x)在区间[0,1]上二阶可导,f(0)=0,且f(1)=1,证明:
(1)存在x
0
∈(0,1),使得f’(x
0
)=1;
(2)存在ζ∈(0,1),使得ζf”(ζ)+(1+ζ)f’(ζ)=1+ζ。
选项
答案
(1)对f(x)在区间[0,1]上应用拉格朗日中值定理,存在x
0
∈(0,1),使得f’(x
0
)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=1。 (2)作辅助函数F(x)=xe
x
[f’(x)-1],显然F(0)=F(x
0
)=0,F(x)在(0,1)上可导,且F’(x)=(1+x)e
x
[f’(x)-1]+xe
x
f”(x)。 根据罗尔定理,存在ζ∈(0,x
0
),使得F’(ζ)=0,即ζf”(ζ)+(1+ζ)f’(ζ)=1+ζ。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ypx4777K
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考研数学三
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