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[2017年] 设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)有3个不同的特征值.且α3=α1+2α2. 证明r(A)=2;
[2017年] 设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)有3个不同的特征值.且α3=α1+2α2. 证明r(A)=2;
admin
2021-01-19
48
问题
[2017年] 设3阶矩阵A=(α
1
,α
2
,α
3
)有3个不同的特征值.且α
3
=α
1
+2α
2
.
证明r(A)=2;
选项
答案
利用秩的定义证之. 设A的特征值为λ
1
,λ
2
和λ
3
,因A有3个不同的特征值,故A可以相似对角化,即存在可逆矩阵P,使得 P
-1
AP=[*] 因为λ
1
,λ
2
,λ
3
两两不同,所以r(A)≥2.又因α
3
=α
1
+2α
2
,所以α
1
,α
2
,α
3
线性相关,从而上r(A)<3,故r(A)=2.结论得证.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yt84777K
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考研数学二
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