[2017年] 设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值．且α3=α1+2α2．证明r(A)=2；

admin2021-01-19 53

问题 [2017年] 设3阶矩阵A=(α₁，α₂，α₃)有3个不同的特征值．且α₃=α₁+2α₂．
证明r(A)=2；

选项

答案利用秩的定义证之．设A的特征值为λ₁，λ₂和λ₃，因A有3个不同的特征值，故A可以相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得 P^-1AP=[*] 因为λ₁，λ₂，λ₃两两不同，所以r(A)≥2．又因α₃=α₁+2α₂，所以α₁，α₂，α₃线性相关，从而上r(A)＜3，故r(A)=2．结论得证．

解析

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