2. 考研
  3. [2017年] 设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值．且α3=α1+2α2． 证明r(A)=2；

[2017年] 设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值．且α3=α1+2α2． 证明r(A)=2；

admin2021-01-19  64
问题 [2017年]  设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值．且α3=α1+2α2．
证明r(A)=2；
选项
答案利用秩的定义证之． 设A的特征值为λ1，λ2和λ3，因A有3个不同的特征值，故A可以相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=[*] 因为λ1，λ2，λ3两两不同，所以r(A)≥2．又因α3=α1+2α2，所以α1，α2，α3线性相关，从而上r(A)＜3，故r(A)=2．结论得证．
解析
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考研数学二

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