设λ≠0是m阶矩阵Am×nBn×m的特征值，证明λ也是n阶矩阵BA的特征值．

admin2020-11-13 59

问题设λ≠0是m阶矩阵A_m×nB_n×m的特征值，证明λ也是n阶矩阵BA的特征值．

选项

答案根据特征值的定义证明．设λ是矩阵AB的任一非零特征值，ζ是对应于它的特征向量．即有 ABζ=ζ． ① 用矩阵B左乘上式两边，得(BA)ζ=B(ABζ)=Bλζ=λ(Bζ)，若Bζ≠0，则由特征值定义知，λ为BA的特征值．下面证明Bζ≠0．事实上，由λ≠0，特征向量ζ≠0，有λζ≠0，再由①式得．ABζ≠0，因此Bζ≠0．

解析

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