设f(x)在[a,b]上连续且单调减少,证明:当0<k<1时,f(x)dx≥kf(x)dx·

admin2019-11-25  30

问题 设f(x)在[a,b]上连续且单调减少,证明:当0<k<1时,f(x)dx≥kf(x)dx·

选项

答案方法一 [*]f(x)dx-k[*]f(x)dx=[*]f(x)dx-k[[*]f(x)dx+[*]f(x)dx] =(1-k)[*]f(x)dx-k[*]f(x)dx=k(1-k)[f(ξ1)-f(ξ2)], 其中ξ1∈[0,k],ξ2∈[k,1].因为0<k<1且f(x)单调减少, 所以[*]f(x)dx-k[*]f(x)dx=k(1-k)[f(ξ1)-f(ξ2)]≥0,故 [*]f(x)dx≥k[*]f(x)dx. 方法二 [*]f(x)dx[*]f(kt)dt=k[*]f(kx)dx,当x∈[0,1]时,因为0<k<1,所以kx≤x, 又因为f(x)单调减少,所以f(kx)≥f(x),两边积分得[*]f(kx)dx≥[*]f(x)dx, 故k[*]f(kx)dx≥k[*]f(x)dx,即[*]f(x)dx≥k[*]2204f(x)dx.

解析
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