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  3. 设f(x)在[a，b]上连续且单调减少，证明：当0＜k＜1时，f(x)dx≥kf(x)dx·

设f(x)在[a，b]上连续且单调减少，证明：当0＜k＜1时，f(x)dx≥kf(x)dx·

admin2019-11-25  50
问题 设f(x)在[a，b]上连续且单调减少，证明：当0＜k＜1时，f(x)dx≥kf(x)dx·
选项
答案方法一 [*]f(x)dx－k[*]f(x)dx＝[*]f(x)dx－k[[*]f(x)dx＋[*]f(x)dx] ＝(1－k)[*]f(x)dx－k[*]f(x)dx＝k(1－k)[f(ξ1)－f(ξ2)]， 其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因为0＜k＜1且f(x)单调减少， 所以[*]f(x)dx－k[*]f(x)dx＝k(1－k)[f(ξ1)－f(ξ2)]≥0，故 [*]f(x)dx≥k[*]f(x)dx． 方法二 [*]f(x)dx[*]f(kt)dt＝k[*]f(kx)dx，当x∈[0，1]时，因为0＜k＜1，所以kx≤x， 又因为f(x)单调减少，所以f(kx)≥f(x)，两边积分得[*]f(kx)dx≥[*]f(x)dx， 故k[*]f(kx)dx≥k[*]f(x)dx，即[*]f(x)dx≥k[*]2204f(x)dx．
解析
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考研数学三

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