2. 考研
  3. 设曲线积分2[xφ(y)+ψ(y)]dx+[x2ψ(y)+2xy2一2xφ(y)]dy=0，其中L为任意一条平面分段光滑闭曲线，φ(y)，ψ(y)是连续可微的函数． (I)若φ(0)=一2，ψ(0)=1，试确定函数φ(y)与ψ(y)； (Ⅱ

设曲线积分2[xφ(y)+ψ(y)]dx+[x2ψ(y)+2xy2一2xφ(y)]dy=0，其中L为任意一条平面分段光滑闭曲线，φ(y)，ψ(y)是连续可微的函数． (I)若φ(0)=一2，ψ(0)=1，试确定函数φ(y)与ψ(y)； (Ⅱ

admin2017-07-28  29
问题 设曲线积分2[xφ(y)+ψ(y)]dx+[x2ψ(y)+2xy2一2xφ(y)]dy=0，其中L为任意一条平面分段光滑闭曲线，φ(y)，ψ(y)是连续可微的函数．
    (I)若φ(0)=一2，ψ(0)=1，试确定函数φ(y)与ψ(y)；
    (Ⅱ)计算沿L从点O(0，0)到M的曲线积分．
选项
答案(I)由假设条件，该曲线积分与路径无关，将曲线积分记为[*]．由单连通区域上曲线积分与路径无关的充要条件知，φ(y)，ψ(y)满足[*]，即 2[xφ’(y)+ψ’(y)]=2xψ(y)+2y2一2φ(y)． 由此得 x[φ’(y)一ψ(y)]=y2一φ(y)一ψ’(y)． 由于x，y是独立变量，若令x=0，则y2一φ(y)一ψ’(y)=0．将之代回上式又得 φ’(y)一ψ(y)=0． [*] 将第一个方程ψ(y)=φ’(y)代入第二个方程得φ”(y)+φ(y)=y2．这是二阶线性常系数非齐次方程，它的通解是φ(y)=c1cosy+c2siny+y2—2．由条件φ(0)=一2，φ’(0)=ψ(0)=1，得c1=0，c2=1，于是求得φ(y)=siny+y2一2，ψ(y)=φ’(y)=cosy+2y． (Ⅱ)求u使得du=Pdx+Qdy．把φ，ψ的关系式代入并整理得 Pdx+Qdy=φ(y)dx2+x2dφ(y)+ψ(y)d(2x)+2x[y2—φ(y)]dy =d[x2φ(y)]+ψ(y)d(2x)+2xdψ(y) =d[x2φ(y)+2xψ(y)]． [*]
解析
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考研数学一

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