设曲线积分2[xφ(y)+ψ(y)]dx+[x2ψ(y)+2xy2一2xφ(y)]dy=0,其中L为任意一条平面分段光滑闭曲线,φ(y),ψ(y)是连续可微的函数. (I)若φ(0)=一2,ψ(0)=1,试确定函数φ(y)与ψ(y); (Ⅱ

admin2017-07-28  22

问题 设曲线积分2[xφ(y)+ψ(y)]dx+[x2ψ(y)+2xy2一2xφ(y)]dy=0,其中L为任意一条平面分段光滑闭曲线,φ(y),ψ(y)是连续可微的函数.
    (I)若φ(0)=一2,ψ(0)=1,试确定函数φ(y)与ψ(y);
    (Ⅱ)计算沿L从点O(0,0)到M的曲线积分.

选项

答案(I)由假设条件,该曲线积分与路径无关,将曲线积分记为[*].由单连通区域上曲线积分与路径无关的充要条件知,φ(y),ψ(y)满足[*],即 2[xφ’(y)+ψ’(y)]=2xψ(y)+2y2一2φ(y). 由此得 x[φ’(y)一ψ(y)]=y2一φ(y)一ψ’(y). 由于x,y是独立变量,若令x=0,则y2一φ(y)一ψ’(y)=0.将之代回上式又得 φ’(y)一ψ(y)=0. [*] 将第一个方程ψ(y)=φ’(y)代入第二个方程得φ”(y)+φ(y)=y2.这是二阶线性常系数非齐次方程,它的通解是φ(y)=c1cosy+c2siny+y2—2.由条件φ(0)=一2,φ’(0)=ψ(0)=1,得c1=0,c2=1,于是求得φ(y)=siny+y2一2,ψ(y)=φ’(y)=cosy+2y. (Ⅱ)求u使得du=Pdx+Qdy.把φ,ψ的关系式代入并整理得 Pdx+Qdy=φ(y)dx2+x2dφ(y)+ψ(y)d(2x)+2x[y2—φ(y)]dy =d[x2φ(y)]+ψ(y)d(2x)+2xdψ(y) =d[x2φ(y)+2xψ(y)]. [*]

解析
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