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考研
下列二次型中,正定二次型是 ( )
下列二次型中,正定二次型是 ( )
admin
2019-12-23
28
问题
下列二次型中,正定二次型是 ( )
选项
A、f
1
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=(x
1
-x
2
)
2
+(x
2
-x
3
)
2
+(x
3
-x
4
)
2
+(x
4
-x
1
)
2
.
B、f
2
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=(x
1
+x
2
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
3
+x
4
)
2
+(x
4
+x
1
)
2
.
C、f
3
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=(x
1
-x
2
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
3
-x
4
)
2
+(x
4
+x
1
)
2
.
D、f
4
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=(x
1
-x
2
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
3
+x
4
)
2
+(x
4
+x
1
)
2
.
答案
D
解析
法一 (A)存在x
1
=(1,1,1,1)
T
,使得f
1
(x
1
)=0,f
1
不正定.
(B)存在x
2
=(1,-1,1,-1)
T
,使得f
2
(x
2
)=0,f
2
不正定.
(C)存在x
3
=(1,1,-1,-1)
T
,使得f
3
(x
3
)=0,f
3
不正定.
由排除法知,f
4
(x)是正定二次型.应选(D).
法二对(D),.f
4
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=(x
1
-x
2
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
3
+x
4
)
2
+(x
4
+x
1
)
2
,
故x=C
-1
y是可逆线性变换,则由
知,f
4
是正定二次型.
法三 f
4
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=(x
1
-x
2
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
3
+x
4
)
2
+(x
4
+x
1
)
2
故知A=D
T
D是正定矩阵,f
4
是正定二次型.
法四 写出各二次型的对应矩阵,用顺序主子式是否都大于零来判别.
【注】要说明二次型不正定,只需找到x≠0,使得f(x)≤0即可,要说明二次型正定,则应给出证明(利用二次型正定的定义或充分必要条件).
有人认为:四个选项均是正的平方和,作变换均可化为y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
+y
4
2
,从而误认为四个选项都正确.
注意选项(D)中平方和,并非配方法中的平方和,但所作为变换确实是可逆线性矩阵.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zTS4777K
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