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  3. 下列二次型中，正定二次型是 ( )

下列二次型中，正定二次型是 ( )

admin2019-12-23  23
问题 下列二次型中，正定二次型是    (  )
选项 A、f1(x1，x2，x3，x4)＝(x1－x2)2＋(x2－x3)2＋(x3－x4)2＋(x4－x1)2．
B、f2(x1，x2，x3，x4)＝(x1＋x2)2＋(x2＋x3)2＋(x3＋x4)2＋(x4＋x1)2．
C、f3(x1，x2，x3，x4)＝(x1－x2)2＋(x2＋x3)2＋(x3－x4)2＋(x4＋x1)2．
D、f4(x1，x2，x3，x4)＝(x1－x2)2＋(x2＋x3)2＋(x3＋x4)2＋(x4＋x1)2．
答案D
解析 法一  (A)存在x1＝(1，1，1，1)T，使得f1(x1)＝0，f1不正定．
(B)存在x2＝(1，－1，1，－1)T，使得f2(x2)＝0，f2不正定．
(C)存在x3＝(1，1，－1，－1)T，使得f3(x3)＝0，f3不正定．
由排除法知，f4(x)是正定二次型．应选(D)．
法二对(D)，．f4(x1，x2，x3，x4)＝(x1－x2)2＋(x2＋x3)2＋(x3＋x4)2＋(x4＋x1)2，

故x＝C－1y是可逆线性变换，则由知，f4是正定二次型．
法三  f4(x1，x2，x3，x4)＝(x1－x2)2＋(x2＋x3)2＋(x3＋x4)2＋(x4＋x1)2

故知A＝DTD是正定矩阵，f4是正定二次型．
法四  写出各二次型的对应矩阵，用顺序主子式是否都大于零来判别．
【注】要说明二次型不正定，只需找到x≠0，使得f(x)≤0即可，要说明二次型正定，则应给出证明(利用二次型正定的定义或充分必要条件)．
有人认为：四个选项均是正的平方和，作变换均可化为y12＋y22＋y32＋y42，从而误认为四个选项都正确．
注意选项(D)中平方和，并非配方法中的平方和，但所作为变换确实是可逆线性矩阵．
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