2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b](a＞0)上连续，在(a，b)内可导，f(a)=0，f(b)=2，f’(x)≠0，证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得

设f(x)在[a，b](a＞0)上连续，在(a，b)内可导，f(a)=0，f(b)=2，f’(x)≠0，证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得

admin2022-06-04  79
问题 设f(x)在[a，b](a＞0)上连续，在(a，b)内可导，f(a)=0，f(b)=2，f’(x)≠0，证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得
选项
答案因为f(x)在[a，b](a＞0)上连续，且f(A)=0，f(B)=2．由介值定理得，必存在a＜c＜b，使f(C)=1．因为xf(x)，f(x)在闭区间[a，b]上连续，开区间(a，b)内可导，且f’(x)≠0，所以xf(x)，f(x)在[c，b]上满足柯西中值定理的条件，故存在ξ∈(c，b)，使得 [*] 将f(C)=1，f(B)=2代入上式，得[*]=2b-c．又因为f(x)在[a，c]上满足拉格0朗日中值定理的条件，故存在η∈(a，c)，使得 f(C)-f(A)=f’(η)(c-a) [*]
解析
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考研数学三

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