求函数f(x,y)=x2+2y2-x2y2在区域D={(x,y)|x2+y2≤4,y≥0,x≥0}上的最大值和最小值。

admin2019-01-23  26

问题 求函数f(x,y)=x2+2y2-x2y2在区域D={(x,y)|x2+y2≤4,y≥0,x≥0}上的最大值和最小值。

选项

答案先求D内的驻点及相应的函数值,由 [*] 得f(x,y)在D内有一个驻点[*]=2。 再求f(x,y)在D的边界上的最大值与最小值,D的边界由三部分组成: 一是线段Γ1:y=0,0≤x≤2,在Γ1上 f(x,y)=x2 (0≤x≤2), 最小值为0,最大值为4。 二是线段Γ2:x=0,0≤y≤2,在Γ2上 f(x,y)=2y2 (0≤y≤2), 最小值为0,最大值为8。 三是上半圆周Γ3:y2=4-x2(0≤x≤2),在Γ3上 f(x,y)=x2+2(4-x2)-x2(4-x2) =8-5x2+x4 [*] h’(x)=[*],由h’(x)=0得x=0或x2=[*],且 [*] 于是f(x,y)在D的边界上的最大值为8,最小值为0。 最后通过比较知f(x,y)在D上的最大值为8,最小值为0。

解析
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