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设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(1)=0,求证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf’(ξ)=0.
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(1)=0,求证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf’(ξ)=0.
admin
2016-01-22
24
问题
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(1)=0,求证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf’(ξ)=0.
选项
答案
将欲证结论中的ξ换成x得(2x+1)f(x)+xf’(x)=0,即 [*] 上式两端求不定积分得ln|f(x)|=一2x一ln|x|+ln|c|,即c=xe
2x
f(x),故可构造辅助函数F(x)=ze
2x
f(x),则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 F(0)=0,F(1)=e
2
f(1)=0, 所以F(x)在闭区间[0,1]上满足罗尔定理的条件,从而至少存在一点ξ∈(0,1),使得F’(ξ)=0, 故(2ξ+1)f(ξ)+ξ
解析
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考研数学一
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