设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(1)=0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

admin2016-01-22 27

问题设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(1)=0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

选项

答案将欲证结论中的ξ换成x得(2x+1)f(x)+xf’(x)=0，即 [*] 上式两端求不定积分得ln|f(x)|=一2x一ln|x|+ln|c|，即c=xe^2xf(x)，故可构造辅助函数F(x)=ze^2xf(x)，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且 F(0)=0，F(1)=e²f(1)=0，所以F(x)在闭区间[0，1]上满足罗尔定理的条件，从而至少存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，故(2ξ+1)f(ξ)+ξ

解析

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考研数学一

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