设A是n阶矩阵，A的第i行第j列元素aij=i．j(i，j=1，2，…，n)．B是n阶矩阵，B的第i行第j列元素bij=i(i=1，2，…，n)．证明：A相似于B．

admin2018-03-30 109

问题设A是n阶矩阵，A的第i行第j列元素a_ij=i．j(i，j=1，2，…，n)．B是n阶矩阵，B的第i行第j列元素b_ij=i(i=1，2，…，n)．
证明：A相似于B．

选项

答案由题设条件知 [*] A各行元素成比例，故r(A)=1，λ=0是A的n一1重特征值； A的非零特征值为λ_n=[*]，且A是实对称矩阵，故 [*] B各行元素成比例，故r(B)=1，μ=0是B的n一1重特征值，B的非零特征值为μ_n=[*]． B对应于μ=0有n一1个线性无关特征向量，故知存在可逆矩阵P，使得 P^-1P=[*]．故B～A．由相似关系的传递性，得证A～[*]～B，即A～B．

解析

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考研数学三

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