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设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f’(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.
设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f’(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.
admin
2019-04-08
99
问题
设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f’(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x
2
y]dy=0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.
选项
答案
(1)由全微分方程的充要条件[*]知 f’’(x)+2xy=x
2
+2xy-f(x), 即 f’’(x)+f(x)=x
2
. ① 此方程的齐次方程f’’(x)+f(x)=0的通解为Y=C
1
cosx+C
2
sinx.非齐次方程①的特解形式为y
*
=ax
2
+bx+c,代入方程①,得a=1,b=0,c=一2.于是y
*
=x
2
一2.方程①的通解为 f(x)=C
1
cosx+C
2
sinx+x
2
一2. 由f(0)=0,f’(0)=1,求得C
1
=2,C
2
=1,从而得f(x)=2cosx+sinx+x
2
一2. (2)将f(x)的表达式代入原方程中,得 [xy
2
一(2cosx+sinx)y+2y]dx+(一2sinx+cosx+2x+x
2
y)dy=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, ② 其中P(x,y),Q(x,y)分别为上式中dx,dy前面的系数函数.其通解可用积分法求之.为此取特殊路径(折线路径)积分: u(x,y)=∫
(0,0)
(x,y)
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫
0
x
P(x,0)dx+Q(x,0)·0+∫
0
y
P(x,y)·0+Q(x,y)dy =∫
0
y
Q(x,y)dy=∫
0
y
(一2sinx+cosx+2x+x
2
y)dy =一2ysinx+ycosx+2xy+x
2
y
2
/2, 所以所给全微分方程的通解为一2ysinx+ycosx+x
2
y
2
/2+2xy=C.
解析
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考研数学一
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