2. 考研
  3. 设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．

设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．

admin2019-04-08  31
问题 设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．
选项
答案(1)由全微分方程的充要条件[*]知 f’’(x)+2xy=x2+2xy-f(x)， 即 f’’(x)+f(x)=x2． ① 此方程的齐次方程f’’(x)+f(x)=0的通解为Y=C1cosx+C2sinx．非齐次方程①的特解形式为y*=ax2+bx+c，代入方程①，得a=1，b=0，c=一2．于是y*=x2一2．方程①的通解为 f(x)=C1cosx+C2sinx+x2一2． 由f(0)=0，f’(0)=1，求得C1=2，C2=1，从而得f(x)=2cosx+sinx+x2一2． (2)将f(x)的表达式代入原方程中，得 [xy2一(2cosx+sinx)y+2y]dx+(一2sinx+cosx+2x+x2y)dy=P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0， ② 其中P(x，y)，Q(x，y)分别为上式中dx，dy前面的系数函数．其通解可用积分法求之．为此取特殊路径(折线路径)积分： u(x，y)=∫(0，0)(x，y)P(x，y)dx+Q(x，y)dy=∫0xP(x，0)dx+Q(x，0)·0+∫0yP(x，y)·0+Q(x，y)dy =∫0yQ(x，y)dy=∫0y(一2sinx+cosx+2x+x2y)dy =一2ysinx+ycosx+2xy+x2y2／2， 所以所给全微分方程的通解为一2ysinx+ycosx+x2y2／2+2xy=C．
解析
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考研数学一

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