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设3阶矩阵A有3个不同的特征值λ1，λ2，λ3，其对应的特征向量分别为α1，α2，α3，记β＝α1＋α2＋α3，且A3β＝Aβ，则｜ 2A＋3E｜＝( )．
设3阶矩阵A有3个不同的特征值λ1，λ2，λ3，其对应的特征向量分别为α1，α2，α3，记β＝α1＋α2＋α3，且A3β＝Aβ，则｜ 2A＋3E｜＝( )．
admin
2020-10-30
59
问题
设3阶矩阵A有3个不同的特征值λ
1
，λ
2
，λ
3
，其对应的特征向量分别为α
1
，α
2
，α
3
，记β＝α
1
＋α
2
＋α
3
，且A
3
β＝Aβ，则｜ 2A＋3E｜＝( )．
选项
A、5．
B、10．
C、15．
D、20．
答案
C
解析
Aβ＝A(α
1
十α
2
＋α
3
)＝Aα
1
＋Aα
2
＋Aα
3
＝λ
1
α
1
＋λ
2
α
2
＋λ
3
α
3
，
A
2
β＝A(λ
1
α
1
＋λ
2
α
2
＋λ
3
α
3
)＝λ
1
2
α
1
＋λ
2
2
α
2
＋λ
3
2
α
3
，
A
3
β＝A(λ
1
2
α
1
＋λ
2
2
α
2
＋λ
3
2
α
3
)＝λ
1
3
α
1
＋λ
2
3
α
2
＋λ
3
3
α
3
，由A
3
β＝Aβ，得(λ
1
－λ
1
3
)α
1
＋(λ
2
－λ
2
3
)α
2
＋(λ
3
－λ
3
3
)α
3
＝0，由α
1
，α
2
，α
3
线性无关，得．λ
i
－λ
i
3
＝0(i＝1，2，3)，于是λ
1
＝－1，λ
2
＝0，λ
3
＝1，从而2A+3E的特征值为2×(－1)＋3＝1， 2×0＋3＝3， 2×1＋3＝5，故｜ 2A＋3E｜＝1×3×5＝15．应选C
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考研数学三
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