设3阶矩阵A有3个不同的特征值λ1,λ2,λ3,其对应的特征向量分别为α1,α2,α3,记β=α1+α2+α3,且A3β=Aβ,则| 2A+3E|=( ).

admin2020-10-30  43

问题 设3阶矩阵A有3个不同的特征值λ1,λ2,λ3,其对应的特征向量分别为α1,α2,α3,记β=α1+α2+α3,且A3β=Aβ,则| 2A+3E|=(    ).

选项 A、5.
B、10.
C、15.
D、20.

答案C

解析 Aβ=A(α1十α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3
    A2β=A(λ1α1+λ2α2+λ3α3)=λ12α1+λ22α2+λ32α3
    A3β=A(λ12α1+λ22α2+λ32α3)=λ13α1+λ23α2+λ33α3,由A3β=Aβ,得(λ1-λ131+(λ2-λ232+(λ3-λ333=0,由α1,α2,α3线性无关,得.λi-λi3=0(i=1,2,3),于是λ1=-1,λ2=0,λ3=1,从而2A+3E的特征值为2×(-1)+3=1,  2×0+3=3,  2×1+3=5,故| 2A+3E|=1×3×5=15.应选C
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