2. 考研
  3. 设3阶矩阵A有3个不同的特征值λ1，λ2，λ3，其对应的特征向量分别为α1，α2，α3，记β＝α1＋α2＋α3，且A3β＝Aβ，则｜ 2A＋3E｜＝( )．

设3阶矩阵A有3个不同的特征值λ1，λ2，λ3，其对应的特征向量分别为α1，α2，α3，记β＝α1＋α2＋α3，且A3β＝Aβ，则｜ 2A＋3E｜＝( )．

admin2020-10-30  40
问题 设3阶矩阵A有3个不同的特征值λ1，λ2，λ3，其对应的特征向量分别为α1，α2，α3，记β＝α1＋α2＋α3，且A3β＝Aβ，则｜ 2A＋3E｜＝(    )．
选项 A、5．
B、10．
C、15．
D、20．
答案C
解析 Aβ＝A(α1十α2＋α3)＝Aα1＋Aα2＋Aα3＝λ1α1＋λ2α2＋λ3α3，
    A2β＝A(λ1α1＋λ2α2＋λ3α3)＝λ12α1＋λ22α2＋λ32α3，
    A3β＝A(λ12α1＋λ22α2＋λ32α3)＝λ13α1＋λ23α2＋λ33α3，由A3β＝Aβ，得(λ1－λ13)α1＋(λ2－λ23)α2＋(λ3－λ33)α3＝0，由α1，α2，α3线性无关，得．λi－λi3＝0(i＝1，2，3)，于是λ1＝－1，λ2＝0，λ3＝1，从而2A+3E的特征值为2×(－1)＋3＝1，  2×0＋3＝3，  2×1＋3＝5，故｜ 2A＋3E｜＝1×3×5＝15．应选C
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考研数学三

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