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求微分方程y"+2y’+2y=的通解.
求微分方程y"+2y’+2y=的通解.
admin
2019-03-21
56
问题
求微分方程y"+2y’+2y=
的通解.
选项
答案
应先用三角公式将自由项写成e
-x
+e
-x
cos x,然后再用叠加原理用待定系数法求特解. 对应的齐次方程的通解为 Y=(C
1
cos x+C
2
sin x)e
-x
. 为求原方程的一个特解,将自由项分成两项:e
-x
,e
-x
cos x,分别考虑 y"+2y’+2y=e
-x
, ① 与 y"+2y’+2y=e
-x
cos x. ② 对于①,令 y
1
*=Ae
-x
, 代入可求得A=1,从而得y
1
*=e
-x
. 对于②,令 y
2
*=xe
-x
(Bcos x+Csin x), 代入可求得B=0,[*].由叠加原理,得原方程的通解为 y=Y+y
1
*+y
2
*=e
-x
(C
1
cos x+C
2
sin x)+e
-x
+[*]其中C
1
,C
2
为任意常数.
解析
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