求微分方程y"+2y’+2y=的通解．

admin2019-03-21 59

问题求微分方程y"+2y’+2y=

的通解．

选项

答案应先用三角公式将自由项写成e^-x+e^-xcos x，然后再用叠加原理用待定系数法求特解．对应的齐次方程的通解为 Y=(C₁cos x+C₂sin x)e^-x．为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：e^-x，e^-xcos x，分别考虑 y"+2y’+2y=e^-x， ① 与 y"+2y’+2y=e^-xcos x． ② 对于①，令 y₁*=Ae^-x，代入可求得A=1，从而得y₁*=e^-x．对于②，令 y₂*=xe^-x(Bcos x+Csin x)，代入可求得B=0，[*]．由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y₁*+y₂*=e^-x(C₁cos x+C₂sin x)+e^-x+[*]其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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