2. 考研
  3. 设f(x)连续，且满足 f(x)=(x－π)2－tf(x－t)dt，求f(x)．

设f(x)连续，且满足 f(x)=(x－π)2－tf(x－t)dt，求f(x)．

admin2019-06-04  24
问题 设f(x)连续，且满足
    f(x)=(x－π)2－tf(x－t)dt，求f(x)．
选项
答案这是含变限积分的方程，且被积函数又含参变量，所以先作变量替换，转化为被积函数不含参变量的情形．令s=x－t得 [*] ① 现把它转化成微分方程问题．①式两边求导得 [*] ② 又①式中令x=π得f(π)=0． 再对②求导得f"(x)+f(x)=2． 在②中令x=π得f’(π)=0． 于是问题转化为求解初值问题[*] 其中y=f(x)． 这是二阶线性常系数方程，显然有常数特解y*=2，于是通解为 y=C1COSx+C2sinx+2． 由[*] 解得C1=2，C1=0． 因此 y=f(x)=2cosx+2．
解析
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考研数学一

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