设f(x)连续，且满足 f(x)=(x－π)2－tf(x－t)dt，求f(x)．

admin2019-06-04 29

问题设f(x)连续，且满足
f(x)=(x－π)2－

tf(x－t)dt，求f(x)．

选项

答案这是含变限积分的方程，且被积函数又含参变量，所以先作变量替换，转化为被积函数不含参变量的情形．令s=x－t得 [*] ① 现把它转化成微分方程问题．①式两边求导得 [*] ② 又①式中令x=π得f(π)=0．再对②求导得f"(x)+f(x)=2．在②中令x=π得f’(π)=0．于是问题转化为求解初值问题[*] 其中y=f(x)．这是二阶线性常系数方程，显然有常数特解y^*=2，于是通解为 y=C₁COSx+C₂sinx+2．由[*] 解得C₁=2，C₁=0．因此 y=f(x)=2cosx+2．

解析

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