设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0，1]上的均匀分布，试求： V=IX一Yl的概率密度fV(v)。

admin2019-01-19 63

问题设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0，1]上的均匀分布，试求：
V=IX一Yl的概率密度f_V(v)。

选项

答案设Z=X—Y=X+(一Y)。其中X与(一Y)独立，概率密度分别为 f_X(x)=[*] 根据卷积公式得Z的概率密度 f_Z(z)=∫_-∞^+∞f_X(z—y)f_-Y(y)dy=∫_-1⁰f_X(z—y)dy [*] V=|X—Y|=|Z|的分布函数为F_V(v)=P{|Z|≤v}，可得当v≤0时，F_V(v)=0；当v>0时，F_V(v)=P{一v≤Z≤v}=f_Z(z)dz。由此知，当0V(v)=∫_-v⁰(z+1)dz+∫₀^v(1一z)dz=2v一v²；当v≥1时， F_V(v)=∫_-v^-1Odx+∫_-1⁰(z+1)dz+∫₀¹(1一z)dz+∫₁^vOdz=1。综上可得 F_V(v)=[*]

解析

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