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设三阶矩阵A=(α1,α2,α3)有3个不同的特征值,且α3=α1+2α2. (I)证明:r(A)=2; (Ⅱ)若β=α1+α2+α3,求方程组Ax=β的通解.
设三阶矩阵A=(α1,α2,α3)有3个不同的特征值,且α3=α1+2α2. (I)证明:r(A)=2; (Ⅱ)若β=α1+α2+α3,求方程组Ax=β的通解.
admin
2022-09-22
102
问题
设三阶矩阵A=(α
1
,α
2
,α
3
)有3个不同的特征值,且α
3
=α
1
+2α
2
.
(I)证明:r(A)=2;
(Ⅱ)若β=α
1
+α
2
+α
3
,求方程组Ax=β的通解.
选项
答案
(I)由α
3
=α
1
+2a
2
,可得α
1
+2α
2
-α
3
=0,可知α
1
,α
2
,α
3
线性相关. 因此可知r(A)≤2,且|A|=0,即A的特征值中必有0. 又A有三个不同的特征值,因此另外两个特征值非0,从而r(A)≥2. 因此r(A)=2.问题得证. (Ⅱ)由(I)中r(A)=2,得3-r(A)=1,可知Ax=0的基础解系只有1个解向量. 由α
1
+2α
2
-α
3
=0,可得(α
1
,α
2
,α
3
)[*],则Ax=0的基础解系为[*]. 又β=α
1
+α
2
+α
3
=(α
1
,α
2
,α
3
)[*],则方程组Ax=β的一个特解为[*]. 因此方程组AX=β的通解为[*],k为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3Df4777K
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考研数学二
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