2. 考研
  3. 设三阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2． (I)证明：r(A)=2； (Ⅱ)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．

设三阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2． (I)证明：r(A)=2； (Ⅱ)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．

admin2022-09-22  137
问题 设三阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2．
    (I)证明：r(A)=2；
    (Ⅱ)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．
选项
答案(I)由α3=α1+2a2，可得α1+2α2-α3=0，可知α1，α2，α3线性相关． 因此可知r(A)≤2，且｜A｜=0，即A的特征值中必有0． 又A有三个不同的特征值，因此另外两个特征值非0，从而r(A)≥2． 因此r(A)=2．问题得证． (Ⅱ)由(I)中r(A)=2，得3-r(A)=1，可知Ax=0的基础解系只有1个解向量． 由α1+2α2-α3=0，可得(α1，α2，α3)[*]，则Ax=0的基础解系为[*]． 又β=α1+α2+α3=(α1，α2，α3)[*]，则方程组Ax=β的一个特解为[*]． 因此方程组AX=β的通解为[*]，k为任意常数．
解析
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考研数学二

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