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设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)= 求: U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的概率密度。
设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)= 求: U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的概率密度。
admin
2019-03-25
71
问题
设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f(x,y)=
求:
U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的概率密度。
选项
答案
先求U=max{X,Y}的分布函数,于是 F
U
(u)=P{U≤u}=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}。 当u<0时,F
U
(u)=0。 当u≥0时,F
U
(u)=P{X≤u,Y≤u}=∫
0
u
dx∫
x
u
xe
-y
dy=∫
0
u
x(e
-x
一e
-u
)dx =∫
0
u
xe
-x
dx一e
-u
∫
0
u
xdx=(一ue
-u
一e
-u
+1)一[*]e
-u
=1一([*]+u+1)e
-u
。 综上 F
u
(u)=[*] 将分布函数F
U
(u)对u求导,则U=max{X,Y}的概率密度为 f
U
(U)=[*] V=min{X,Y}的分布函数为 F
V
(v)=P{V≤v}=1一P{V>v}=1一P{min{X,Y}>v}=1一P{X>v,Y>v}。 当v<0时,F
V
(v)=0。 当v≥0时,F
V
(v)=1一P{X>v,Y>v}=1一∫
v
+∞
dy∫
v
y
xe
-y
dx =1一[*]∫
v
+∞
(y
2
2-ydy=1-(v+1)e
-v
。 综上 F
V
(v)=[*] 将分布函数F
V
(v)对v求导,则V=min{X,Y}的概率密度为 f
V
(V)=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3P04777K
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考研数学一
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