设A是3阶实对称矩阵,其主对角线元素都是0,并且α=(1,2,-1)T满足Aα=2α.(Ⅰ)求矩阵A;(Ⅱ)求正交矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.

admin2018-06-12  28

问题 设A是3阶实对称矩阵,其主对角线元素都是0,并且α=(1,2,-1)T满足Aα=2α.(Ⅰ)求矩阵A;(Ⅱ)求正交矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.

选项

答案(Ⅰ)设A=[*],由Aα=2α得到 [*]a12=2,a13=2,a23=-2. 故A=[*] (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式 |λE-A|=[*]=(λ-2)2(λ+4), 得到矩阵A的特征值为λ1=λ2=2,λ3=-4. 对于λ=2,由(2E-A)χ=0, [*] 得到属于λ=2的特征向量α1=(1,2,-1)T,α2=(1,0,1)T. 对λ=-4,由(-4E-A)χ=0, [*] 得到属于λ=-4的特征向量α3=(-1,1,1)T. 因为α1,α2已正交,故只需单位化,有 [*] 那么,令P=(γ1,γ2,γ3)=[*] 则P-1AP=∧=[*]

解析
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