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  3. 设A=，在如下四个条件中①ad-bc＜0，②b，c同号，③b=c，④b，c异号，是A相似于对角矩阵的充分条件的是( )

设A=，在如下四个条件中①ad-bc＜0，②b，c同号，③b=c，④b，c异号，是A相似于对角矩阵的充分条件的是( )

admin2018-11-22  29
问题 设A=，在如下四个条件中①ad-bc＜0，②b，c同号，③b=c，④b，c异号，是A相似于对角矩阵的充分条件的是(    )
选项 A、①、③．
B、②、④．
C、③、④．
D、①、②、③．
答案D
解析 对③，当b=c时，A是实对称矩阵，必与对角矩阵相似，所以③是A相似于对角矩阵的充分条件；
    其余条件应从A的特征值进行判断是否是A相似于对角矩阵的充分条件．
｜λE-A｜==λ2-(a+d)λ+AD-BC=0，

对①，当ad-bc＜0时，(a+d)2-4(ad-bc)＞0，则由

知A有两个不同的特征值，则A必与对角矩阵相似，所以①是A相似于对角矩阵的充分条件；
    对②，当b，c同号时，(a-d)2+4bc＞0，则由

知A有两个不同的特征值，则A必与对角矩阵相似，所以②是A相似于对角矩阵的充分条件；
对④，当b，c异号时A不一定能相似于对角矩阵．例如设A=，b=-1与c=1异号，且
｜λE-A｜==λ2=0， λ1=λ2=0，
对于(0E-A)X=0，N-R(0.E-A)=2-R(A)=2-1=1．所以A=线性无关的特征向量只有一个，A不能相似于对角矩阵．
因此条件①、②、③是A相似于对角矩阵的充分条件，应选D．
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考研数学一

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