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设,E为4阶单位矩阵,且B=(E+A)-1(E-A),则(E+B)-1=__________.
设,E为4阶单位矩阵,且B=(E+A)-1(E-A),则(E+B)-1=__________.
admin
2019-05-14
15
问题
设
,E为4阶单位矩阵,且B=(E+A)
-1
(E-A),则(E+B)
-1
=__________.
选项
答案
2E
解析
虽可以南A先求出(E+A)
-1
,再作矩阵乘法求出B,最后通过求逆得到(E+B)
-1
.但这种方法计算量太大.
若用单位矩阵恒等变形的技巧,我们有
B+E
=(E+A)
-1
(E-A)+E
=(E+A)
-1
[(E-A)+(E+A)]
=2(E+A)
-1
.
(E+B)
-1
=[2(E+A)
-1
]
-1
=1/2(E+A)
由B=(E+A)
-1
(E一A),左乘E+A得
(E+A)B=E-A (E+A)B+(E+A)=E-A+E+A=2E.
(E+A)(E+B)=2E.
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考研数学一
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