设，E为4阶单位矩阵，且B=(E+A)-1(E-A)，则(E+B)-1=__________．

admin2019-05-14 9

问题设

，E为4阶单位矩阵，且B=(E+A)^-1(E-A)，则(E+B)^-1=__________．

选项

答案2E

解析虽可以南A先求出(E+A)^-1，再作矩阵乘法求出B，最后通过求逆得到(E+B)^-1．但这种方法计算量太大．
若用单位矩阵恒等变形的技巧，我们有
B+E
=(E+A)^-1(E-A)+E
=(E+A)^-1[(E-A)+(E+A)]
=2(E+A)^-1．
(E+B)^-1
=[2(E+A)^-1]^-1
=1/2(E+A)
由B=(E+A)^-1(E一A)，左乘E+A得
(E+A)B=E-A (E+A)B+(E+A)=E-A+E+A=2E．
(E+A)(E+B)=2E．

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考研数学一

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