设α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关，其中α1，α2，…，αs是齐次方程组Aχ＝0的基础解系．证明Aβ1，Aβ2，…，Aβt线性无关．

admin2018-06-12 53

问题设α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性无关，其中α₁，α₂，…，α_s是齐次方程组Aχ＝0的基础解系．证明Aβ₁，Aβ₂，…，Aβ_t线性无关．

选项

答案设c₁Aβ₁＋c₂Aβ₂＋…＋c_tAβ_t＝0，则A(c₁β₁＋c₂β₂＋…＋c_tβ_t)＝0，即 c₁β₁＋c₂β₂＋…＋c_tβ_t是AX＝0的解，从而可以用α₁，α₂，…，α_s线性表示，即有 c₁β₁＋c₂β₂＋…＋c_tβ_t＝k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s，由于α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性无关，上式中的系数都为0，从而c₁＝c₂＝…＝c_t＝0．

解析

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考研数学一

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