2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，π]上连续，且 试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

设函数f(x)在[0，π]上连续，且 试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

admin2019-03-22  59
问题 设函数f(x)在[0，π]上连续，且
           
试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2使f(ξ1)=f(ξ2)=0．
选项
答案证 令[*]则F’(x)=f(x)．因而 [*] 则必存在ξ∈(0，π)使F(ξ)sinξ=0．如果不是这样，则在(0，π)内F(x)sinx恒为正或恒为负，于是[*]恒为正或恒为负，这与[*]矛盾．但当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，故由F(ξ)sinξ=0得到F(ξ)=0．于是找到了ξ∈(0，π)使F(ξ)=0，且有 F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0＜ξ＜π)． 再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理得到：至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使 F’(ξ1)=F’(ξ2)=0， 即 f(ξ)=f(ξ2)=0．
解析
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考研数学三

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