设函数f(x)在[0,π]上连续,且 试证明在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

admin2019-03-22  40

问题 设函数f(x)在[0,π]上连续,且
           
试证明在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

选项

答案证 令[*]则F’(x)=f(x).因而 [*] 则必存在ξ∈(0,π)使F(ξ)sinξ=0.如果不是这样,则在(0,π)内F(x)sinx恒为正或恒为负,于是[*]恒为正或恒为负,这与[*]矛盾.但当ξ∈(0,π)时,sinξ≠0,故由F(ξ)sinξ=0得到F(ξ)=0.于是找到了ξ∈(0,π)使F(ξ)=0,且有 F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0<ξ<π). 再对F(x)在区间[0,ξ],[ξ,π]上分别用罗尔定理得到:至少存在ξ1∈(0,ξ),ξ2∈(ξ,π),使 F’(ξ1)=F’(ξ2)=0, 即 f(ξ)=f(ξ2)=0.

解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/5YP4777K
0

最新回复(0)