设函数f(x)在[0，π]上连续，且试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

admin2019-03-22 92

问题设函数f(x)在[0，π]上连续，且

试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ₁，ξ₂使f(ξ₁)=f(ξ₂)=0．

选项

答案证令[*]则F’(x)=f(x)．因而 [*] 则必存在ξ∈(0，π)使F(ξ)sinξ=0．如果不是这样，则在(0，π)内F(x)sinx恒为正或恒为负，于是[*]恒为正或恒为负，这与[*]矛盾．但当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，故由F(ξ)sinξ=0得到F(ξ)=0．于是找到了ξ∈(0，π)使F(ξ)=0，且有 F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0＜ξ＜π)．再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理得到：至少存在ξ₁∈(0，ξ)，ξ₂∈(ξ，π)，使 F’(ξ₁)=F’(ξ₂)=0，即 f(ξ)=f(ξ₂)=0．

解析

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