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设函数f(x)在[0,π]上连续,且 试证明在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
设函数f(x)在[0,π]上连续,且 试证明在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
admin
2019-03-22
99
问题
设函数f(x)在[0,π]上连续,且
试证明在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
选项
答案
证 令[*]则F’(x)=f(x).因而 [*] 则必存在ξ∈(0,π)使F(ξ)sinξ=0.如果不是这样,则在(0,π)内F(x)sinx恒为正或恒为负,于是[*]恒为正或恒为负,这与[*]矛盾.但当ξ∈(0,π)时,sinξ≠0,故由F(ξ)sinξ=0得到F(ξ)=0.于是找到了ξ∈(0,π)使F(ξ)=0,且有 F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0<ξ<π). 再对F(x)在区间[0,ξ],[ξ,π]上分别用罗尔定理得到:至少存在ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
∈(ξ,π),使 F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0, 即 f(ξ)=f(ξ
2
)=0.
解析
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考研数学三
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