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  3. 设幂级数an(x－b)n在x=0处收敛，在x=2b处发散，求幂级数anxn的收敛半径R与收敛域，并分别求幂级数的收敛半径．

设幂级数an(x－b)n在x=0处收敛，在x=2b处发散，求幂级数anxn的收敛半径R与收敛域，并分别求幂级数的收敛半径．

admin2018-09-25  45
问题 设幂级数an(x－b)n在x=0处收敛，在x=2b处发散，求幂级数anxn的收敛半径R与收敛域，并分别求幂级数的收敛半径．
选项
答案令t=x－b，收敛中心x0=b的幂级数[*]an(x－b)n化为收敛中心t0=0的幂级数[*]antn．根据阿贝尔定理可以得到如下结论： 因为[*]an(x－b)n在x=0处收敛，所以[*]antn在t=－b处收敛，从而当｜t｜＜｜－b｜=｜b｜时，幂级数[*]antn绝对收敛． 由于[*]an(x－b)n在x=2b处发散，故[*]antn在t=b处发散，进而当｜t｜＞｜b｜时，幂级数[*]antn发散． 由上述两方面，根据幂级数收敛半径的定义即知[*]anxn的收敛半径R=｜b｜，其收敛域为[－｜b｜，｜b｜)． 又因为幂级数[*]分别经逐项求导和逐项积分所得，根据幂级数逐项求导、逐项积分所得幂级数的收敛半径不变的性质，即知它们的收敛半径都是R=｜b｜．
解析
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考研数学一

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