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  3. (2003年试题，十一)若矩阵相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使P-1AP=A

(2003年试题，十一)若矩阵相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使P-1AP=A

admin2013-12-18  79
问题 (2003年试题，十一)若矩阵相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使P-1AP=A
选项
答案由题设，先求矩阵A的特征值，设E为三阶单位矩阵，则由[*]可得λ1=6，λ2=6，λ3=一2，欲使A相似于对角阵A，应使λ1=λ2=6对应两个线性无关的特征向量，因此A一6E的秩为1，于是[*]可得出a=0，从而[*]面求特征向量．当λ1=λ2=6时，由(A一6E)x=0可得出两个线性无关的特征向量为ξ1=(0，0，1)T，ξ2=(1，2，0)T当λ3=一2时，由(A+2E)x=0可得ξ3=(1，一2，0)T，于是[*]且P-1存在，并有P-1AP=A，其中[*]
解析 1．A与对角矩阵相似的充分必要条件(1)A有n个线性无关的特征向量；(2)对A的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数．2．A与对角矩阵相似的充分条件(1)A有n个不同的特征值；(2)A是实对称矩阵．
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考研数学二

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