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(2003年试题,十一)若矩阵相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P使P-1AP=A
(2003年试题,十一)若矩阵相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P使P-1AP=A
admin
2013-12-18
91
问题
(2003年试题,十一)若矩阵
相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P使P
-1
AP=A
选项
答案
由题设,先求矩阵A的特征值,设E为三阶单位矩阵,则由[*]可得λ
1
=6,λ
2
=6,λ
3
=一2,欲使A相似于对角阵A,应使λ
1
=λ
2
=6对应两个线性无关的特征向量,因此A一6E的秩为1,于是[*]可得出a=0,从而[*]面求特征向量.当λ
1
=λ
2
=6时,由(A一6E)x=0可得出两个线性无关的特征向量为ξ
1
=(0,0,1)
T
,ξ
2
=(1,2,0)
T
当λ
3
=一2时,由(A+2E)x=0可得ξ
3
=(1,一2,0)
T
,于是[*]且P
-1
存在,并有P
-1
AP=A,其中[*]
解析
1.A与对角矩阵相似的充分必要条件(1)A有n个线性无关的特征向量;(2)对A的每个特征值,线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数.2.A与对角矩阵相似的充分条件(1)A有n个不同的特征值;(2)A是实对称矩阵.
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考研数学二
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