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  3. [2003年]设矩阵，B=P-1A*P．求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵．

[2003年]设矩阵，B=P-1A*P．求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵．

admin2019-04-08  165
问题 [2003年]设矩阵，B=P-1A*P．求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵．
选项
答案因a=3，b=2，知A的三个特征值分别为 λ1=λ2=a-b=1，λ3=a+(n一1)b=3+(3—1)×2=7． 又由知，｜A｜=λ1λ2λ3=1×1×7=7．于是A*的三个特征值为 λ1*=｜A｜／λ1=7， λ2*=｜A｜／λ2=7， λ3*=｜A｜／λ3=1． 因B～A*，故B的三个特征值μ1=λ1*=7，μ2=λ2*=7，μ3=λ3*=1.于是B+2E的三个特征值分别为9，9，3． 先求A的属于特征值λ1=λ1=1及λ3=7的特征向量．因 λ1E-A=E-A=[*] 故A的属于特征值λ1=λ2=1的特征向量为η1=[一1，1，0]T，η2=[一1，1，0]T．而 λ3E—A=7E—A=[*] 故A的属于特征值λ3=7的特征向量为η3=[1，1，1]T． 综上所述，A*的属于特征值λ1*=λ2*=7，λ3*=1的特征向量与A的对应特征向量相同，即分别为η1，η2，η3．于是B的属于特征值μ1=μ2=7的特征向量可取为 [*] B的属于特征值μ2=1的特征向量可取为 β3=P-1η3=[*] 故B+2E的特征值分别为9，9，3．属于特征值9(二重特征值)的全部特征向量为 k1β1+k2β2=k1[1，一1，0]T+k2[一1，一1，1]T， 其中k1，k2不同时为零． B+2E的属于特征值3的全部特征向量为k3β3=k3[0，1，1]T，其中k3≠0．
解析
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考研数学一

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