设线性方程组 已知(1,-1,1,-1)T是该方程组的一个解,试求: 方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解;

admin2019-12-24  28

问题 设线性方程组
已知(1,-1,1,-1)T是该方程组的一个解,试求:
方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解;

选项

答案将(1,-1,1,-1)T代入方程组,得λ=μ。 对方程组的增广矩阵[*]施以初等行变换,得 [*] 当λ≠1/2时,有 [*] 可知r(A)=r([*])=3<4,故方程组有无穷多解,且ξ0=(0,-1/2,1/2,0)T为其一个特解,对应的齐次线性方程组的基础解系为η=(-2,1,-1,2)T,故方程组的全部解为 ξ=(0,-1/2,1/2,0)T+k(-2,1,-1,2)T, 其中k为任意常数。 当λ=1/2时,有 [*] 可知r(A)=r([*])=2<4,故方程组有无穷多解,且ξ0=(-1/2,1,0,0)T为其一个特解,对应的齐次线性方程组的基础解系为η1=(1,-3,1,0)T,η2=(-1,-2,0,2)T,故方程组的全部解为 ξ=(-1/2,1,0,0)T+k1(1,-3,1,0)T+k2(-1,-2,0,2)T, 其中k1,k2为任意常数。

解析
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